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2002
考研
数三真题
解析
Born to win
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)
(1) 设常数,则
(2) 交换积分次序:.
(3) 设三阶矩阵,三维列向量.已知与线性相关,则
.
(4) 设随机变量和的联合概率分布为
-1
0
1
0
0.07
0.18
0.15
1
0.08
0.32
0.20
则和的协方差.
(5) 设总体的概率密度为
而是来自总体的简单随机样本,则未知参数的矩估计量为
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数在闭区间上有定义,在开区间内可导,则 ( )
(A)当时,存在,使.
(B)对任何,有.
(C)当时,存在,使.
(D)存在,使.
(2) 设幂级数与的收敛半径分别为与,则幂级数的收敛半径为 ( )
(A) 5 (B) (C) (D)
(3) 设是矩阵,是矩阵,则线性方程组 ( )
(A)当时仅有零解 (B)当时必有非零解
(C)当时仅有零解 (D)当时必有非零解
(4) 设是阶实对称矩阵,是阶可逆矩阵,已知维列向量是的属于特征值的
特征向量,则矩阵属于特征值的特征向量是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 设随机变量和都服从标准正态分布,则 ( )
(A)服从正态分布 (B)服从分布
(C)和都服从分布 (D)服从分布
三、(本题满分5分)
求极限
四、(本题满分7分)
设函数有连续偏导数,且由方程所确定,求.
五、(本题满分6分)
设求.
六、(本题满分7分)
设是由抛物线和直线及所围成的平面区域;是由抛物线和直线所围成的平面区域,其中.
(1)试求绕轴旋转而成的旋转体体积;绕轴旋转而成的旋转体体积;
(2)问当为何值时,取得最大值?试求此最大值.
七、(本题满分7分)
(1)验证函数满足微分方程
(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.
八、(本题满分6分)
设函数在上连续,且.利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点,使 .
九、(本题满分8分)
设齐次线性方程组
其中,试讨论为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.
十、(本题满分8分)
设为三阶实对称矩阵,且满足条件,已知的秩
(1)求的全部特征值
(2)当为何值时,矩阵为正定矩阵,其中为三阶单位矩阵.
十一、(本题满分8分)
假设随机变量在区间上服从均匀分布,随机变量
试求:(1)和的联合概率分布;(2).
十二、(本题满分8分)
假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布,平均无故障工作的时间 为5小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数.
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
(1)【答案】
【详解】里面为型,通过凑成重要极限形式来求极限,
.
(2)【答案】
【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域与,将它们的并集记为.
于是 .
再将后者根据积分定义化为如下形式,即,所以
(3)【答案】
【详解】
由于与线性相关,(两个非零向量线性相关,则对应分量成比例),所以有
,得
或(两个非零向量线性相关,则其中一个可以由另一个线性表出)
即 ,得 ,得
(4)【答案】.
【详解】、和都是分布,而分布的期望值恰为取时的概率.
由离散型随机变量和的联合概率分布表可得的可能取值为0和1,且的可能取值也为0和1,且和的边缘分布为
;;
;;
;
故有
而边缘分布律:
,,
,
所以,的联合分布及其边缘分布为
0
1
0
0.18
0.22
0.40
1
0.32
0.28
0.60
0.50
0.50
1
由上表同理可求得的分布律为
0
1
0.72
0.28
所以由分布的期望值恰为取1时的概率得到:
(5)【答案】.
【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩,此题中被估参数只有一个,故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)
期望
样本均值
用样本均值估计期望有 ,即 ,
解得未知参数的矩估计量为 .
二、选择题
(1)【答案】(B)
【详解】方法1:论证法.由题设在开区间内可导,所以在内连续,因此,对于内的任意一点,必有 即有.故选(B).
方法2:排除法.
(A)的反例:,有,但在内无零点.
(C)与(D)的反例, ,但(当),不满足罗尔中值定理,当然也不满足拉格朗日中值定理的结论.故选(B).
(2)【答案】(D)
【详解】方法1:是矩阵,是矩阵,则是阶方阵,因
.
当时,有.(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组必有非零解,故应选(D).
方法2:是矩阵, 当时,,则,(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组必有非零解,即存在,使得,两边左乘,得,即有非零解,故选(D).
(3)【答案】(B)
【详解】方法1:由题设根据特征值和特征向量的定义,,是阶实对称矩阵,故.设,则
上式左乘,右乘,得
,即,
所以
两边左乘,得 得
根据特征值和特征向量的定义,知的对应于特征值的特征向量为,即应选(B).
方法2:逐个验算(A),(B),(C),(D)中哪个选项满足,由题设根据特征值和特征向量的定义,,是阶实对称矩阵,故.设属于特征值的特征向量为,即,其中
对(A),即令,代入
对(B),
成立.故应选(B).
(4)【答案】C
【分析】(i)变量的典型模式是:,其中要求满足:相互独立,.称为参数为的变量.
(ii) 变量的典型模式是:,其中要求满足:与相互独立,,称为参数为的变量.
【详解】方法1:根据题设条件,和均服从.故和都服从分布,答案应选(C).
方法2:题设条件只有和服从,没有与的相互独立条件.因此,与的独立条件不存在,选(B)、(D)项均不正确.
题中条件既没有与独立,也没有正态,这样就不能推出服从正态分布的选项(A).根据排除法,正确选项必为(C).
三【详解】
.
四【详解】方法1:用一阶微分形式不变性求全微分.
由所确定,两边求全微分,有
,
解出
所以
方法2:(根据多元函数偏导数的链式法则)
下面通过隐函数求导得到,.由两边对求偏导数,有
得,.类似可得,,代入表达式
,
再代入 中,得
.
五【详解】首先要从求出.
命,则有,,于是.(通过换元求出函数的表达式)
(换元积分法)
(分部积分法)
.
六【分析】旋转体的体积公式:设有连续曲线,与直线及轴围成平面图形绕轴旋转一周产生旋转体的体积.
【详解】(1)
.
(2)
根据一元函数最值的求法要求驻点,令
,
得. 当时,当时,因此是的唯一极值点且是极大值点,所以是的最大值点,.
七【解】(1) ,
由收敛半径的求法知收敛半径为,故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得
,
同理得
从而
(由的麦克劳林展开式)
这说明,是微分方程的解,并且满足初始条件
,.
(2)微分方程对应的齐次线性方程为,其特征方程为,其特征根为,所以其通解为
.
另外,该非齐次方程的特解形式为,代入原非齐次方程得,所以.故微分方程的通解为
.
故
由初始条件得
解得
,
于是得到惟一的一组解:从而得到满足微分方程及初始条件的解,只有一个,为
另一方面,由(1)已知也是微分方程及初始条件的解,由微分方程解的唯一性,知
八【详解】方法1:因为与在上连续,所以存在使得
,,
满足.又,故根据不等式的性质
根据定积分的不等式性质有
所以
由连续函数的介值定理知,存在,使
即有 .
方法2:因为与在上连续,且,故与都存在,且
记,于是即
因此必存在使.不然,则在内由连续函数的零点定理知要么恒为正,从而根据积分的基本性质得;要么恒为负,同理得,均与不符.由此推知存在使,从而
.
九【详解】方法1:对系数矩阵记为作初等行变换
当时,的同解方程组为,基础解系中含有个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量,取为自由未知量,分别取,,…, 得方程组个线性无关的解
,
为基础解系,方程组的全部解为,其中是任意常数.
当时,
当且时,,仅有零解.
当时,的同解方程组是
基础解系中含有个线性无关的解向量,取为自由未知量,取,得方程组个非零解,即其基础解系,故方程组的全部解为
,其中是任意常数.
方法2:方程组的系数行列式
(1)当且时,,方程组只有零解.
(2)当时,
方程组的同解方程组为
基础解系中含有个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量,取为自由未知量,分别取,,…, 得方程组个线性无关的解
,
为基础解系,方程组的全部解为,其中是任意常数.
(1)当时,
,其同解方程组是
基础解系中含有个线性无关的解向量,取为自由未知量,取,得方程组个非零解,即其基础解系,故方程组的全部解为
,其中是任意常数.
十【详解】(1) 设是的任意特征值,是的属于的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有 ①
两边左乘,得 ②
②+2*①得
因,,从而上式,
所以有,故的特征值的取值范围为.
因为是实对称矩阵,所以必相似于对角阵,且的主对角线上元素由的特征值组成,且,故的特征值中有且只有一个0.
(若没有0,则,故与已知矛盾;若有两个0,则,故与已知矛盾;若三个全为0,则,故与已知矛盾). 故
即有特征值.
(2)是实对称矩阵,有特征值,知的特征值为.因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零,故
正定
故时是正定矩阵.
十一【分析】有四个可能值,可以逐个求出.在计算过程中要注意到取值与的值有关.的分布为均匀分布,计算概率不用积分都行,可以直接看所占区间的长度比例即可.
【详解】只有四个可能值.依照题意,有
于是,分布为
(2) 因为,所以我们应该知道和的分布律.
对离散型随机变量,的取值可能有的取值可能有0和4;
.
和的分布律分别为
0
4
0
2
和
所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有:
所以有,.
十二【详解】首先找出随机变量的表达式. 由和2(小时)来确定,所以.
指数分布的的分布参数为 其密度函数为:
其中是参数
由分布函数的定义:
(1) 当时,(因为,其中和2都大于0,那么小于0是不可能事件)
(2) 当时,(因为最大也就取到2,所以小于等于2是一定发生的,是必然事件)
(3) 当时,
所以