1989考研数三真题解析.doc

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】 【解析】对函数两边对求导,得 令得所以该曲线在点处的切线的斜率为, 所以 切线方程是即为所求. (2)【答案】 【解析】因系数,从而 即幂级数的收敛半径,当时幂级数绝对收敛. 当时得交错级数(条件收敛)；当时得正项级数(发散). 于是,幂级数的收敛域是. (3)【答案】 【解析】个方程个未知数的齐次方程组有非零解的充分必要条件是, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即为方阵时,用判定比较方便. 而 所以当时.所以此题应填:. (4)【答案】, 【解析】由于任何随机变量的分布函数是右连续函数,因此对任何,有 . 对于,有 令 ,得到,其中.又 因在处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此 所以 (5)【答案】 【解析】由切比雪夫不等式,有 . 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B) 【解析】由洛必达法则有 . 所以与是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C) 【解析】由不定积分的概念和性质可知, 为常数. 故应选(C). (3)【答案】(C) 【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要. 因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了 的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合. 以3阶矩阵为例,若 , 条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选. 若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确. 这样用排除法可知应选(C). (4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解. 因此,若要拆开阶行列式,则应当是个阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确. 若,则 . 而且存在时,不一定都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式知(C)正确. 注意,行列式是数,故恒有.而矩阵则不行,故(B)不正确. (5)【答案】D 【解析】设事件“甲种产品畅销”,事件“乙种产品滞销”,则 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为则 “甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D). 三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是型未定式求极限. 设,则当时,.于是 , 令,则时, 所以 , 所以 , 由洛必达法则得 , 所以 . (2)【解析】方法一：先求,再求.由复合函数求导法则, 故 . 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得 . 于是有 . 再对外求偏导数,即得 . 【相关知识点】复合函数求导法则：若和在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点处的偏导数存在,且 . (3)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为 , 特征根为,故对应齐次微分方程的通解为. 设所给非齐次方程的特解为,代入方程,比较系数,得,故所求方程的通解为 为常数. 【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如 的特解,其中与同次(次)的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为、或. 四、(本题满分9分) 6 4 2 【解析】(1)收益函数 . 边际收益函数 . (2)由 ,得. 又 . 因此在取极大值. 又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为.而相应的价格为. (3) 由以上分析可列下表,并画出收益函数的图形. 2 4 + 0 - - - - - - 0 + ,凸 极大值 ,凸 拐点 ,凹 五、(本题满分9分) 【解析】(1)为分段函数,由定积分的性质, . (2)用定积分换元法, 令,则,所以 , 而 , 故 . (3) 用定积分换元法, 令,则,所以 而 , 故 . (4)利用以上结果,有 . 六、(本题满分6分) 【解析】对两边对求导,得 . 证法一：由积分中值定理知,在内存在一点使得, 所以 . 又因为,故有,所以. 证法二：令,则 . 因为,所以, 即在上为减函数,所以, 所以 . 七、(本题满分5分) 【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下： 由得 因为 所以 方法二：本题还可用由作初等行变换,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量. , 第一行乘以分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以加到第三行上,得 第三行自乘,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有, 所以 八、(本题满分6分) 【解析】个维向量线性相关的充分必要条件是齐次方程组. 有非零解. 特别地,个维向量线性相关的充分必要条件是行列式.由于 , 故当时,向量组线性无关；时向量组线性相关. 当时,设将坐标代入有 解出即. 九、(本题满分5分) 【解析】(1) 矩阵的特征方程为 , 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有 , 故矩阵的特征值为：. (2)由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得. 因为,故,于是有.按特征值定义知是的特征值. 由的特征值是可知的特征值为又因为 , 那么的特征值是 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量. 十 、(本题满分7分) 【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分 (2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得 . 因为由分部积分法有 , 由洛必达法则,对型极限,有.所以有 十一、(本题满分8分) 【解析】以表示事件“对的观测值大于3”,依题意,的概率密度函数为 因此 设随机变量表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件出现的次数).显然, 服从参数的二项分布,因此,所求概率为 . 【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若,则 , .