知识讲解_高考总复习：古典概型与几何概型（提高）.doc

学海在线资源中心 高考总复习：古典概型与几何概型 编稿：孙永钊 审稿：张林娟 【考纲要求】 1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率； 2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。 【知识网络】 随机事件的概率 古典概型 几何概型 应用 【考点梳理】 知识点一、古典概型 1. 定义 具有如下两个特点的概率模型称为古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 古典概型的基本特征 （1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。 （2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式 由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A发生的概率为其所含个基本事件的概率之和，即。 所以古典概型计算事件A的概率计算公式为： 4.求古典概型的概率的一般步骤： （1）算出基本事件的总个数； （2）计算事件A包含的基本事件的个数； （3）应用公式求值。 5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图； （3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。 知识点二、几何概型 1. 定义： 事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点： （1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式： 随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。 所以几何概型计算事件A的概率计算公式为： 其中表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，表示构成事件A的区域的几何度量。 要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 【典型例题】 类型一、古典概型 【例1】将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求： （1）向上的点数一共有多少种不同的结果？ （2）点数之和是4的倍数的概率； （3）点数之和大于5小于10的概率. 【思路点拨】利用古典概型步骤进行求解： （1）算出基本事件的总个数； （2）计算事件A包含的基本事件的个数； （3）应用公式求值。 【解析】 （1）作图，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种. （2）记“点数之和是4的倍数”的事件为A， 从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个： （1，3），（2，2），（3，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6）， 所以； （3）记“点数之和大于5小于10”为事件B， 从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个， 即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（1，6），（2，5），（3，4)，（4，3），（5，2）， （6，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）， 所以. 【总结升华】 ①在解决古典概型问题时，首先应当分清楚计数的类型，要分清是排列还是组合，单一的还是混合的； ②若所求事件的基本事件个数不易求，很容易出现遗漏或重复，可借助有关图形，以便更准确地把握基本事件个数. 举一反三： 【变式】用数字1，2，3，4，5组成五位数，其中恰有4个相同数字的概率为 . 【答案】=. 【例2】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件； （2）求这个试验的基本事件的总数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件? 【思路点拨】利用古典概型解题步骤进行求解。 【解析】（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}； （2）基本事件的总数是8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）. 【总结升华】一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件. 【例3】抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现7点的概率； （2）出现两个4点的概率. 【思路点拨】根据条件列举出事件A所包含基本事件个数。 【解析】作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元素一一对应.因为S中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36. （1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=. （2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：（4，4）.所以P（B）=. 【总结升华】在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式 例4（2015 漳州一模）对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下： 质量段 [80，85） [85，90） [90，95） [95，100] 件数 5 a 15 b 规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型，已知该批电器有“A“型2件 （Ⅰ）从该批电器中任选1件，求其为“B“型的概率； （Ⅱ）从重量在[80，85）的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率． 【解析】（Ⅰ）设“从该批电器中任选1件，其为“B”型”为事件A1， 则P（A1）== 所以从该批电器中任选1件，求其为”B”型的概率为． （Ⅱ）设“从重量在[80，85）的5件电器中，任选2件电器，求其中恰有1件为“A”型”为事件A2， 记这5件电器分别为a，b，c，d，e，其中“A”型为a，b． 从中任选2件，所有可能的情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种． 其中恰有1件为”A”型的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种． 所以P（A2）==． 所以从重量在[80，85）的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为“A”型的概率为． 举一反三： 【变式】（2015 甘肃一模）为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第1组 [15，25） a 0.5 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65] 3 y （Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值； （Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率． 【解析】（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为， 再结合频率分布直方图可知n=， ∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27， ； （Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人， ∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人 （Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1． 则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件， 其中恰好没有第3组人共3个基本事件， ∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：． 【例5】某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 围棋社 戏剧社 书法社 高中 45 30 初中 15 10 20 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人. (I) 求这三个社团共有多少人？ (II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率. 【思路点拨】（I）根据围棋社共有60人，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人，得到三个社团的总人数． （II）本题是一个等可能事件的概率，列举出试验发生包含的事件，共有10个基本事件，书法展示的同学中初、高中学生都有列举出共有6种结果，根据概率公式得到结果． 【解析】（I）围棋社共有60人， 由可知三个社团一共有150人. （II）设初中的两名同学为，高中的3名同学为, 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果: ，共10个基本事件. 设事件表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， 则事件共有 6个基本事件. . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为. 【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，解决等可能事件的概率问题最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数． 举一反三： 【变式】现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品： （1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率． 【解析】（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512． （2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ． 类型二、与长度有关的几何概型 1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。 【例6】在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是 【思路点拨】解决概率问题先判断属于什么概率模型，本题属几何概型，把问题转化为化成：直径上到圆心O的距离小于的点构成的线段长与直径长之比。 【解析】记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图， 不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF（此时F为OE中点），由几何概型公式得：。 【总结升华】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。 举一反三： 【变式1】取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于20cm的概率有多大？ 60cm 20cm 20cm 60cm 【解析】从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为60cm的绳子上的任意一点. 如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于20cm”为事件A, 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生. 由于中间一段的长度等于绳子长的, 于是事件A发生的概率P(A)= . 【变式2】在半径为1 圆周上有一点A，以A为端点任选一弦，另一端点在圆周上等可能，求弦长超过的概率. 【答案】如图： 另一端落在圆周上任一点，基本事件空间，可用圆周长来度量， 圆内接正三角形ABC的边长为，若任一端点落在劣弧上，则弦长超过， 而落在劣弧之外，则弦长不超过，劣弧之长为圆周的， 事件A=“弧长超过”发生意味着另一端点落在劣弧上，A可用劣弧弧长来度量， 故. 【例7】在等腰Rt△ABC中， (1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率. （2）过直角顶点C在内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率. 【思路点拨】根据条件将问题转化为几何概型问题。 【解析】(1)在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜）=. A C M (2) (1) B (2) 在AB上截取AC′=AC, 于是P（AM＜AC） 【总结升华】（1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的（2）在利用几何概率公式计算概率时，必须注意d与D的测度单位的统一. 类型三、与面积（体积）有关的几何概型 1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为： 2．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型。 3．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为： 【例8】如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m处向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问： （1）投中大圆内的概率是多少？ （2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ （3）投中大圆之外的概率是多少？ 【思路点拨】投中正方形木板上每一点（投中线上或没投中不算）都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性都相等.所以，投中某一部分的概率只与这部分的几何度量（面积）有关，这符合几何概型的条件 【解析】设事件A“投中大圆内”，B“投中小圆与中圆形成的圆环”，C“投中大圆之外”. ， ， ， 由几何概率公式得： ， ， . 【总结升华】对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 举一反三： 【变式】设有关于的一元二次方程． （Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率． （Ⅱ）若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 【答案】设事件为“方程有实根”． 当，时，方程有实根的充要条件为． （Ⅰ）基本事件共12个：． 其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值． 事件中包含9个基本事件， 事件发生的概率为． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为． 构成事件的区域为． 所以所求的概率为． 【例9】将长为的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率. 【思路点拨】将构成三角形问题转化为三段的长度关系，进而转化有关面积的几何概型问题进行求解。 【解析】设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为. 0 l l 则实验的全部结果可构成集合，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合 所求的概率为 【总结升华】用几何概型解题的一般步骤是： （1）适当选择观察角度； （2）把基本事件转化为与之相应的区域； （3）把事件A转化为与之对应的区域； （4）利用概率公式计算. 举一反三： 【变式】 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. 【解析】如下图，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A的面积为30×20－26×16=184（m2） .∴P（A）=. 类型四、生活中的几何概型 【例10】【高清视频：古典概型与几何概型例题3】两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率。 【思路点拨】两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时。设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当，因此转化成面积问题，利用几何概型求解。 【解析】设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当。两人到达约见地点所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）不表示。因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为 【总结升华】对于活生生中的几何概型问题： （1）要注意实际问题中的可能性的判断； （2）将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域。 （3）如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为： 。解决此类问题事件A的角必须含在事件的全部构成的角之内。 举一反三： 【变式1】一个路口的红绿灯,红灯的时间为秒,黄灯的时间为秒,绿灯的时间为秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少? (1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯 【解析】总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件， （1）出现红灯的概率 （2）出现黄灯的概率 （3）不是红灯的概率 【变式2】两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去. 求两人能够会面的概率. 【答案】设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟. 用表示每次试验的结果， 则所有可能结果为： ； 记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为： . 如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内两条直线所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式，得到： 所以，两人能够会面的概率为. 【例11】小明家的晚报在下午之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午之间的任何一个时间随机地开始晚餐，则晚报在晚餐开始之前被送到的概率有多大？ 【思路点拨】构造出变量区域，利用几何概型的解法求解。 【答案】设表示开始晚餐的时间，表示晚报被送到的时间。 用表示每次试验的结果， 则所有可能结果为： 记晚报在晚餐开始之前被送到为事件A， 则事件A的可能结果为： 则. 【总结升华】本题的解题关键是转化为图形的面积问题；要学会把实际问题转化为几何概型的问题。