知识讲解_导数的几何意义_基础1.doc

学海在线资源中心 导数的几何意义 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】 1．理解导数的几何意义。 2．理解导数的全面涵义。 3．掌握利用导数求函数图象的切线的斜率。 4．会求过点（或在点处）的切线方程。 【要点梳理】 要点一、导数几何意义 1. 平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 换一种表述： 曲线上一点及其附近一点， 经过点、作曲线的割线， 则有。 要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。 2.导数的几何意义——曲线的切线 T 图1 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点， 即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线。 T 也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。 要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。 （2）切线斜率的本质———函数在处的导数。 （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。 ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。 ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减。 （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C都用“与C有且只有一个公共点”来定义C的切线呢？如图1-1-2-1的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sin x的一部分，直线2显然与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线2与曲线C相切；而直线1尽管与曲线C有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线C在点N处的切线。 要点二、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标; ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点（x0，y0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。 要点三、导数的概念 导函数定义： 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或， 即: 要点诠释： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 （2）函数的导数，是指某一区间内任一点x而言的，也就是函数f(x)的导函数。 （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值。 导函数也简称导数，所以 所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值。 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量。 （2）.求平均变化率。 （3）.取极限，得导数＝。 要点四、导数的定义的几种形式： 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） 。 要点诠释：只要是时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式。 【典型例题】 类型一、求曲线的切线方程 【高清课堂：导数的几何意义 385147 例1】 例1．曲线的方程为，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程. 【解析】 利用导数的几何意义，曲线在点P（1，2）处的切线的斜率等于函数在处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程. 由得，所以曲线在点处的切线斜率为， 过点P的切线方程为，即. 【总结升华】 求曲线上一点处切线的步骤： ①求函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在处切线的斜率。 ②由点斜式写出直线方程：；如果y=f(x)在的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：. 举一反三： 【变式1】（2015春 儋州校级期末）过曲线图象上一点（2，―2）及邻近一点（2+Δx，―2+Δy）作割线，则当Δx=0.5时割线的斜率为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】当Δx=0.5时，2+Δx=2.5， 故， 故。 故选B。 【变式2】已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________． 【答案】 　∵f(x)＝x2＋3，x0＝2 ∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2 ∴＝4＋Δx. ∴＝4.即f′(2)＝4. 又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2) 即4x－y－1＝0. 【变式3】（2015春 潍坊期末）函数 的图象在处的切线在轴上的截距为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】 【解析】 ， ，即切线的斜率为7，又 ，故切点坐标（1,10）， 切线的方程为： ，当时， ， 切线在轴上的截距为 。 【高清课堂：导数的几何意义 385147 例2】 例2　求曲线经过点的切线方程. 【解析】 本题要分点是切点和不是切点两类进行求解. 若点是切点，由得，则，于是切线方程为，即； 若点不是切点，设切点为：则切线率，所以 解之得，所以，所以切线方程是，即. 【总结升华】 求切线方程，首先要判断所给的点是否是切点。若是，可用求切线方程的步骤求解；若不是，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得到切线方程。 举一反三： 【变式1】 已知：函数，经过点作函数图象的切线，求：切线的方程。 【答案】 对于函数， 由于点在函数图象上， （1）当点是切点时，函数图象在点处的导数即为切线的斜率， 即：， 切线方程为：； （2）当点不是切点时，设点为切点， 函数在此处的导数（即切线的斜率）（） 即：， 即此时点为切点，此时切线方程为。 【变式2】已知曲线。 （1）求曲线过点A（1，0）的切线方程； （2）求满足斜率为的曲线的切线方程。 【答案】（1）设过点A（1，0）的切线的切点坐标为，因为，所以该切线的斜率为，切线方程为。 ① 将A（1，0）代入①式，得。所以所求的切线方程为y=―4x+4。 （2）设切点坐标为，由（1）知，切线的斜率为，则，。那么切点为或。 所以所求的切线方程为或。 【高清课堂：导数的几何意义 385147 例3】 【变式3】设函数，， 其中，为常数，已知曲线与在 点（2,0）处有相同的切线.求的值，并写出切线的方程. 【答案】 由已知：且，因为 所以的方程： 类型二、利用定义求导函数 例3．求函数在x=2处的导数。 【解析】 解法一：（导数定义法） ∵， ∴。 ∴。 解法二：（导函数的函数值法） ∵， ∴。 ∴。 ∴。 【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导。 举一反三： 【变式1】已知，求， 【答案】 因为，所以 。 当Δx→0时，，当x=2时，。 【变式2】求函数在内的导函数。 解：， 类型三、导数的几种形式 例4. 若，则________。 【解析】 根据导数定义： （这时Δ=－k）， 所以 。 【总结升华】 （1）有一种错误的解法： 根据导数的定义：（这时Δx=k）， 所以 。 （2）在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择与之相对应的形式。利用函数在x=x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式。概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题。 举一反三： 【变式1】已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则＝____。 【答案】＝＝－2f′(x0)＝－2×11＝－22. 【变式2】设f(x)为可导函数，且满足－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　) A．2　　　　 B．－1　 　　 C．1　　　　 D．－2 【答案】　 　－1，即y′|x＝1＝－1， 则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B. 【变式3】. 若 （1）求的值。（2）求的值。 【答案】