知识讲解_三角函数的最值与综合应用_提高.doc

学海在线资源中心 三角函数的最值与综合应用 编稿：李霞 审稿：孙永钊 【考纲要求】 1、能求三角函数的值域与最值； 2、能利用三角函数的图象与性质解题. 【知识网络】 三角函数的最值 三角函数在实际生活中的应用 三三角函数的最值与综合应用与综合应用 【考点梳理】 考点一、三角函数的最值 求三角函数的值域，除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法： 1. 涉及正、余弦函数以及，其中，都可以考虑利用有界性处理. 2. 型，经过降次、整理， 得到，其中，再利用有界性处理. 3. 形如或的函数求最值时都可以通过适当变换，通过配方来求解. 4. 形如，在关系式中时，可考虑换元法处理，如令，则，把三角问题化归为代数问题解决. 5. 形如型的函数的最值，可考虑数形结合（常用到直线斜率的几何意义）. 6. 形如型或能确定所给函数在某些区间上单调，可考虑利用单调性求解. 要点诠释： 三角函数的最值问题，其本质是对含有三角函数的符合函数求最值，因此求函数最值的方法都能使用．当然也要掌握上述的特殊的方法. 考点二、(,)的性质 1. 定义域: ,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 3. 奇偶性:时为偶函数；时为奇函数，. 4．单调性:单调增区间:[] , 单调减区间:[] , 5. 对称性:对称中心(,0)， ；对称轴x= ， 6．最值: 当即时，y取最大值A 当即时，y取最小值-A．(). 要点诠释： 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性. 考点三、用三角函数解决一些简单的实际问题 三角函数的知识产生于测量、航海和天文学，还在机械制造、电工学、物理学等学科中有着广泛的应用.对于测量中的问题，要理解有关仰角、俯角、方位角、方向角的概念；对几何问题，特别是立体几何中的问题，要依据题意，画出示意图或立体直观图，将问题归结到三角形中去处理.一般情况下，只要构成三角形就可直接应用三角函数的概念和解三角形的知识解决问题，对于一些较为复杂的应用题则需综合应用代数、立体几何或解析几何知识来解.此外，有些应用题在解答过程中使用三角代换可以简化解题过程，使对数值的处理更为方便. 【典型例题】 类型一：三角函数的最值 例1．已知，若且，求的取值范围. 【思路点拨】在定义域的范围内求的值域，再利用集合之间的关系求的范围. 【解析】 因为，所以 所以 又因为，所以 于是 解得 【总结升华】求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理. 本题是通过二倍角降次，整理成型. 举一反三： 【变式1】函数有最大值2，最小值-1，则实数= ，= . 【答案】 【解析】 （其中） 当时，有，即， 当时，有，即， 解得。 【变式2】已知函数. （1）若，求函数的值； （2）求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）， . （2）， ， 函数的值域为. 【高清课堂：三角函数的最值及综合应用397868 例4】 【变式3】已知函数。 （1）求的值；（2）求的最大值和最小值。 【答案】； 例2．求函数的最大值. 【思路点拨】转化为形式，再利用辅助角公式求值域；注意到，从而确定函数的最大值. 【解析】解法一：将原函数变形得 得（其中由决定）， ，应用，解得。 又，则，故欲求函数的最大值为。 解法二：设则原函数变成，得 利用判别式即又 解得，故的最大值为。 此时，即 解法三：由解法二，设则 即 易知函数在区间为减函数，在上为增函数，故的最小值为。 的最大值为，此时，即。 解法四：的值可看作是过点和两点的直线的斜率，点A在半圆上运动，作图可知的范围是所以的最大值为。 【总结升华】三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域. 举一反三： 【变式1】对于函数，下列结论正确的是（ ） A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 【答案】B 【解析】法一：，，得，是一个减函数，则只有最小值而无最大值. 法二：可通过，得出，由也可求出．故选B. 【变式2】求函数的最大值 【答案】 【解析】令，则 ，的最大值为 【高清课堂：三角函数的最值及综合应用397868 例5】 【变式3】在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列，求的取值范围. 【答案】 类型二：的图象和性质的综合应用 例3. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】由对恒成立，结合函数最值的定义，求得等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角的值，结合，易求出满足条件的具体的值，然后根据正弦函数单调区间的求法，即可得到答案. 【答案】C 【解析】由对恒成立，可知的最大值为，从而有，即，即，，即，. 又，得， 故可取，即，由，， 得，，故选C. 【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的方法.本例先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形的方法来求解.本例的关键之处就是确定的值. 举一反三： 【变式1】如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象关于点中心对称， ．由此易得．故选A． 【变式2】已知，且在区间有最小值，无最大值，则__________. 【答案】 【解析】由题意知直线为函数的一条对称轴，且， ∴. ① 又，∴. ② 由①②得 k=1，∴. 例4.（2016 西城区模拟）已知函数． (Ⅰ)求函数f(x)的定义域和最小正周期； (Ⅱ)当时，求函数f(x)的值域 【解析】(Ⅰ)函数f(x)的定义域为， 所以函数f(x)的最小正周期 (Ⅱ)当时，， 所以. 所以 故 【总结升华】 1.把三角函数式化简为（）是解决周期、最值、单调区间、对称性等问题的常用方法. 2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间 举一反三： 【变式1】(2015 长沙校级一模)如图函数图象的一部分. (1)求的值； (2)当时，求不等式的解集. 【解析】(1)由函数的图像知： 函数的周期 即 依题意知：当时，解得： (2)由得 即即 ，， 解得 不等式的解集为：. 【变式2】已知函数， (1)求函数的最小值以及相应的的取值的集合； (2)写出函数在上的单调递增区间。 【解析】 ， （1）当即（）时，的最小值为-2， 故当时，. （2）该函数是和的复合函数， ∵为增函数，要求的递增区间，只须求的递增区间 ∵的递增区间为：() ∴由得：() ∵，∴时，时， 【变式3】设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值。 【答案】令，， 则， 开口向上，对称轴， 当，即时，函数在上递增，； 当，即时，函数在上递减，，得与矛盾； 当，即时，，解得或（舍）， ∴，此时. 类型三：三角函数在实际生活中的应用 例5．如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所， 海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站，该岛的一个端点A位于 点C的正北方向km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向， 且与点A相距4.5 km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立 一个核辐射监测站。 （1）设CP=x，∠APB=，试将tan表示成x的函数； （2）若要求在监测站P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？ 【思路点拨】（1）分别以直线CP，CA为x、y轴建立直角坐标系，过点B分别作CP、CA的垂线，垂足分别为D、E，由题设AB=4.5，，∠BAE=30°，从而可求出A，B的坐标，又点P（x，0），从而可得表示成x的函数；（2）令x+4=t，利用基本不等式，可求的最大值. 【解析】 （1）连结AC，据题意，AC⊥CP。 过点B分别作CP、CA的垂线，垂足分别为D、E。 由题设AB=4.5，，∠BAE=30°， 所以，， . 当时，点P在点D的右侧，，则。 当时，点P在点D的左侧，， 则。 又，则当x＞0，且时， 有。 当时，点P与点D重合，，满足上式， 所以。 （2）令x+4=t， 则 。 因为，所以，当且仅当，即t=10， 也即x=6时取等号，此时取最大值。因为为锐角，所以当x=6时取最大值。 故点P应选址在点C正东方向6 km处. 【总结升华】解决与最值有关的应用题的步骤是：（1）建立目标函数；（2）求最值.其中关键是建立目标函数.本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确运用差角的正切公式及基本不等式. 举一反三： 【变式1】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成。该八边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】等腰三角形的面积为，等腰三角形的底边长为 ，所以八边形面积为 ，故选A. 【变式2】如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x，y) 的轨迹方程是，则的最小正周期为________；在 其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为________． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动． 【答案】4；π+1 【解析】当正方形PABC四边都滚动时P才回到左下角的位置，所以最小正周期是4，在其两个相邻零点间的图象如图。 面积是3个扇形和两个直角三角形， 。 类型四：其它 例6．已知方程. （1）若方程在上有实根，求实数m的取值范围； （2）若方程在上有两个相异实根，求实数m的取值范围. 【思路点拨】将放在等式一边，另一边进行化简，数形结合，方程在上有实根及有两个相异实根的问题，转化为等式两边图形有交点及有两个不同交点的问题. 【解析】 （1）由题意得即， 若要方程在上有实根，等价于以为定义域而求解函数值的取值范围. ∵， ∴, 当即时，；当，即时，. ∴. （2）由，若在上有两个相异实根， 即函数在上与直线有两个不同的交点，如图. 故当时，方程有两个相异实根. 【总结升华】 求解三角方程是个较困难的问题，但仅考察三角方程在所给区间上解的个数，就可以联系函数的图象求解，或者把变量单独放在一边，考察另一边的取值范围。 ①本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的方法，应重视这种数形结合的方法。 ②把变量分离，单独放在一边也是处理变量的一个技巧。 举一反三： 【变式1】已知方程有解，求实数的取值范围。 【答案】 【解析】由原方程得到， 令，则有最大最小值， 只要在这个范围内，原方程就有解， 故时，原方程有解。 【变式2】已知，求使成立的实数的取值范围。 【答案】 【解析】原式变形为： 当即时，不论取何值，原式成立，即. 当即时，，∴原式等价于 令，则要使成立，只要即可。 又 ∵，∴，∴ ∵ 在即时取最小值3， ∴，即， 所以当时，m取任意实数，原式都成立， 当时 ，原式都成立。