提高_知识讲解_空间向量及其线性运算(理）126.doc

学海在线资源中心 空间向量及其线性运算 编稿：赵 雷 审稿：李 霞 【学习目标】 1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法． 2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律． 3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题． 【要点梳理】 要点一、空间向量的相关概念 1.空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。 （要注意印刷体用a，而手写体为，要区分开） 要点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2.空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 单位向量：长度为1的空间向量，即. 相等向量：方向相同且模相等的向量。 相反向量：方向相反但模相等的向量。 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 要点诠释： ①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． ②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的． 要点二、空间向量的加减法 1．加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 2．运算律 交换律： 结合律： 要点诠释： （1） 空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2） 向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3） 空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 要点三、空间向量的数乘运算 1. 定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当＞0时，a与a方向相同； 当＞0时，a与a方向相反； 当=0时，a=0． a的长度是a的长度的||倍．如右图所示． 2．运算律． 分配律：(a+b)=a+b； 结合律：(μa)= (μ)a． 要点诠释： （1）实数与空间向量a的乘积a（∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量． （2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，a=0；当≠0时．若a≠0时，有a≠0． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+a，－a无意义． 要点四、共线定理 1．共线向量的定义． 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b． 注意： 0与任意向量是共线向量． 2．共线向量定理． 空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使． 要点诠释：此定理可分解为以下两个命题： ① a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b； ② 存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b． 注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一． 3. 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 要点五、共面定理 1．共面向量的定义． 通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了． 2．共面向量定理． 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对（），使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有， 上式叫做平面的向量表达式． 3.共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 【典型例题】 类型一：空间向量的线性运算 例1.（2015春 南昌期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项。 【解析】 ∵，，， ∴， 故选：A。 【总结升华】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题。 举一反三： 【变式1】如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） 【答案】A 显然。 【变式2】（2015春 遂宁校级期末）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且，，，用，，表示向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，连接ON，AN， 则 ， 所以。 故选C。 例2、如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）． ①；②； ③；④． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【思路点拨】 在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量求和那样，运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解． 【解析】 ①； ②； ③； ④． 因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式运算的结果不为向量．故选A． 【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化。表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面。 举一反三： 【变式1】如图，已知长方体，化简下列向量表达式： （1）； （2）。 【解析】 化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简。 （1）； （2）。 【高清课堂：空间向量及其线性运算399109 例题1】 【变式2】 已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1） ； （2） ； 【答案】 (1) (2) 【变式3】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式： （1）； （2）； （3）； （4）。 【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0。 （1）； （2）； （3）； （4）。 例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：. 【思路点拨】 先在ΔOBC中考虑中线OD,然后在ΔOAD中考虑G为AD的分点,分成的比是2：1,两次使用向量的运算性质,把相关向量用表示即可. 【解析】如图所示，∵G是ΔABC的重心 ∴，D为BC的中点 ∴ 【总结升华】 (1)灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键； (2)此类例题常用到结论：若OD是ΔOBC的中线，则有 举一反三： 【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：。 【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴，，， ∴ 又由于，， ∴ ∴。 【变式2】如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：。 【答案】 ① ② ①+②得。 ∴。 例4、已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值： （1）； （2）。 【思路点拨】根据向量运算法则，用向量、、表示和，然后利用向量相等来确定x、y、z的值。 【解析】（1）∵， 又∵， ∴x=1，y=－1，z=1。 （2）∵ ， 又∵， ∴，，。 【总结升华】任何空间向量都可以用三个不共面向量（即是一组基向量）唯一的表示。 举一反三： 【变式】已知是平行六面体。 （1）化简，并在图中标出其结果； （2）设M是底面ABCD的中心、N是侧面对角线上的分点，设，试求、、的值。 【答案】 （1）如图所示 取的中点为E，则 取F为的一个三等分点，则 又，， ∴。 （表示法不唯一） （2） ∴，，。 类型二：共线向量定理的应用 例5． 证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心） 【思路点拨】 如图．在四面体ABCD中，E、F、G、H、P、Q分别是所在棱的中点，要证明EF、GH、PQ相交于一点O，且O为它们的中点． 【解析】 ∵E、G分别为AB、AC的中点，∴，同理， ∴． 从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF、GH相交于一点O，且O为它们的中点．连接OP、OQ． 只要能证明向量，就可以说明P、O、Q三点共线，且O为PQ的中点．事实上，，，而O为GH的中点，∴，，． ∴，． ∴． ∴． ∴PQ经过O点，且O为PQ的中点． 即证得EF、GH、Q相交于点O，且O为它们的中点，故原命题得证． 【总结升华】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 举一反三： 【变式1】设、是平面上不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，求k的值。 【答案】 由共线的向量定理列出关系式。 ∵，。 又∵A、B、D三点共线， 由共线向量定理，得，∴。 【变式2】如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点。 求证：平面EFG∥平面AB1C。 【答案】用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行。 证明：设，，， 则， ∴， ∴，∴EG∥AC 又∵， ∴，∴，EF∥B1C。 又∵EG与EF相交，AC与B1C相交， ∴平面EFG∥平面AB1C。 类型三：共面向量及应用 例6．已知，从平面外一点引向量 ， （1）求证：四点共面； （2）平面平面． 【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴， ∵， ∴共面； （2）∵，又∵， ∴ 所以，平面平面． 【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 举一反三： 【变式】已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件， 试判断：点与是否一定共面？ 【答案】由题意：， ∴， ∴，即， 所以，点与共面． 例7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点， 求证：B1C∥平面ODC. 【解析】 　　 　　 【总结升华】 （1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可． （2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面． 举一反三： 【高清课堂：空间向量及其线性运算399109 例题1】 【变式1】 已知斜三棱柱，设 ， ， . 在面对角线和棱上分别取点和 ， , （）.求证： 与向量 ， 共面. 【答案】，∴ ∴ 与向量 ， 共面. 【变式2】 如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，． 求证：MN∥平面CDE． 【答案】 证明：如题图，因为M在BD上，且，所以． 同理． 所以 ． 又与不共线， 根据向量共面的充要条件可知，，共面． 由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．