巩固练习_直线与抛物线的位置关系（理）_提高.doc

学海在线资源中心 【巩固练习】 一、 选择题 1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　) A. 　　　　　　　　B. C．|a| D． 2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　) A. B．3 C. D. 3．(2016 咸阳模拟改编)已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 4．与直线4x－y＋3＝0平行的抛物线y＝2x2的切线方程是(　　) A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0 C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0 5．(2015 新课标Ⅰ文)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ）。 A. 3 B.6 C. 9 D. 12 6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 二、填空题 7．如果直线l过定点M(1,2)，且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，那么l的方程为________． 8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________. 9．抛物线上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是________． 10．(2015 山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 。 三、解答题 11.已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 12. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程． 13.若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，求实数b的值． 14.已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点． (1)求证：OA⊥OB. (2)当△OAB的面积等于时，求k的值． 15．（2016 浙江文）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1。 （Ⅰ）求p的值； （Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围. 答案与解析 1.【答案】 B 【解析】　∵y2＝ax，∴p＝，即焦点到准线的距离为，故选B. 2. 【答案】　A 【解析】　记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是直线l，则点F的坐标是(，0)，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于，选A. 3．【答案】　C 【解析】　设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)，又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－， 则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.故选C. 4. 【答案】　C 【解析】　y′＝4x＝4∴x＝1，y＝2，过(1,2)斜率为4的直线为y－2＝4(x－1)． 5. 【答案】B 【解析】∵y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=－2 ∴椭圆E中 c=2 ，a=4，∴b2=12 ∴椭圆E的方程为 设A（－2，y0） ，∴y02=9，∴|y0|=3 ∴|AB|=2y0=6 故选B 6. 【答案】　B 【解析】　抛物线的焦点F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B. 7．【答案】　x＝1或y＝4x－2 【解析】　当过M(1,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与抛物线有一个交点；当M(1,2)的直线的斜率存在时，设直线方程：y＝k(x－1)＋2，与抛物线方程联立得2x2－k(x－1)－2＝0，此时Δ＝0，解得k＝4，故直线方程为y＝4x－2.故x＝1或y＝4x－2. 8．【答案】　2 【解析】　设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把x＝y＋代入y2＝2px得，y2－2px－p2＝0，∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4，∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，∴(2p)2－4×(－p2)＝32，又p>0，∴p＝2. 9. 【答案】　0<a≤1 【解析】　设抛物线上一点P(x，y)， 则|PA|2＝x2＋(y－a)2＝2y＋y2－2ay＋a2 ＝y2－2(a－1)y＋a2＝[y－(a－1)]2＋2a－1. ∵y≥0，∴当a－1≤0，即a≤1时，|PA|2有最小值， 而|PA|有最小值，此时y＝0，故0<a≤1. 10．【答案】 【解析】设OA所在直线方程为，则OB所在直线方程为 解方程组得 而抛物线C2的焦点，因为F是△OAB的垂心，kOB·kAF=－1 所以答案应填 11. 【解析】由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|. ∵F(2,0)，∴|OM|＝|OF|＝3. ∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24， ∴m＝或m＝. ∴A(3, )．∴|OA|＝|OB|＝. ∴△OAB的周长为 12. 【解析】　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 其准线方程为x＝， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为|AF|＋|BF|＝8， 所以x1＋＋x2＋＝8， 即x1＋x2＝8－p. 因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上， 所以QA＝QB， 即(x1－6)2＋＝(x2－6)2＋， 又＝2px1，＝2px2， 所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0， ∵x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p 故8－p＝12－2p ∴p＝4 ∴所求抛物线方程是y2＝8x 13. 【解析】　因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上， 所以＝2x1　①　＝2x2　② ①－②并整理可得， 又因为kAB＝－1，所以y1＋y2＝－2， 因为在直线y＝x＋b上， 所以－1＝＋b，即b＝， 所以b的值为. 14. 【解析】: (1)证明：如图所示，由方程联立消去x后，整理得ky2＋y－k＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 由根与系数的关系y1·y2＝－1. ∵A、B在抛物线y2＝－x上， ∴＝－x1，＝－x2，. ∵kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB. (2)设直线与x轴交于N，显然k≠0. ∴令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)． ∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN ＝|ON||y1|＋|ON||y2| ＝|ON|·|y1－y2|， ∴S△OAB＝·1· ＝. ∵S△OAB＝，∴＝， 解得 15．【解析】（1）由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=－1的距离。 由抛物线的第一得，即p=2。 （2）由（1）得抛物线的方程为y2=4x，F（1，0），可设A（t2，2t），t≠0，t≠±1。 因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x=sy+1，（s≠0），由消去x得 y2―4sy―4=0，故y1y2=―4，所以。 又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为， 从而的直线，直线， 所以， 设M（m，0），由A，M，N三点共线得：， 于是，经检验，m＜0或m＞2满足题意。 综上，点M的横坐标的取值范围是（－∞，0）∪（2，+∞）。