知识讲解_高考总复习：二项式定理（提高）.doc

学海在线资源中心 高考总复习：二项式定理 编稿：孙永钊 审稿：张林娟 【考纲要求】 1．能用计数原理证明二项式定理； 2．掌握二项展开式系数的性质及计算的问题； 3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、二项式定理 公式叫做二项式定理。其中叫做二项式系数。叫做二项展开式的通项，它表示第项。 其中： ①公式右边的多项式叫做的二项展开式； ②展开式中各项的系数叫做二项式系数； ③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为. 要点诠释： 二项展开式的通项公式集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用。使用时要注意： （1）通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项； （2）通项公式中a和b的位置不能颠倒； （3）展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心以防出差错； （4）在通项公式中共含有a,b,n,r,这5个元素，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到：知道5个元素中的若干个（或它们之间的关系），求另外几个元素的问题。这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程（组）或不等式（组），这里要注意n为正整数，r为非负数，且r≤n。 要点二、二项展开式的特性 ①项数：有n+1项； ②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式； ③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n； ④系数：依次为. 要点三、二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 ②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大. ③二项式系数之和为，即 其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即 要点诠释： 1．对于二项式定理的构成，展开式中含的项的系数可理解为从n个相同的a+b中先取出r个b，有种不同取法，再从剩下的n-r个括号中取出n-r个a，有种方法，据分步计数原理，共有种不同方法数，该方法数就对应着展开式中含的项的系数。 2．二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式.因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据。 3. 二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别是：它们是完全不同的两个概念。二项式系数的指，它只与各项的项数有关，而与的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与的值有关。 【典型例题】 类型一、求特定项和特定项的系数 【例1】已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。 【思路点拨】本题要利用二项式展开式通项公式写出通项，要求有理项只需使整理后的x的幂指数为整数即可。 【解析】二项展开式的通项公式为 由此得二项展开式中末三项的系数分别为，， 依题意得 注意到这里，故得n=8 ∴ 设第r+1项为有理项，则有x的幂指数为整数， ∴ r=0，4，8， ∴ T1，T5，T9为有理项， 又由通项公式得： ， ， ∴ 所求二项展开式中的有理项分别为，， 【总结升华】求解二项式展开式特定项步骤： 写出展开式的通项公式→合并同类项整理→令x的指数为整数k→根据0≤r≤n,r∈Z,求k →根据k值求出展开式的有理项。 例2.（2015春 陕西校级期末）已知（﹣）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含的项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 【思路点拨】利用展开式的通项公式求解。 【解析】由题意，第五项系数和第三项系数分别为，并且， 化简得n2﹣5n﹣24=0，解得n=8或n=﹣3（舍去）． （1）令x=1得各项系数和为（1﹣2）8=1； （2）通项公式为Tr+1=， 令4﹣，则r=1， 所以展开式中含x的项为T2=﹣16x； （3）由n=8知第五项的二项式系数最大，此时T5=（﹣2）4Cx﹣6=1120x﹣6． 【总结升华】解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。 举一反三： 【变式1】的展开式中的系数是（　　　） A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】C； 【解析】， 在中，x的系数为C·22=24. ∴的展开式中的系数为24。 【变式2】（2015 湖北高考）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　） 【答案】D A．212 B．211 C．210 D．29 【解析】已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， 可得，可得n=3+7=10． （1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29故选D． 类型二、二项式系数的性质 【例3】已知在的展开式中，第6项为常数项。 （1）求n； （2）求含x2的项的系数； （3）求展开式所有的有理项。 【思路点拨】写出展开式的通项公式→根据第6项为常数项求n→由n值令x的指数为2，求r→求出x2的项的系数→令x的指数为整数k→根据0≤r≤n,r∈Z,求k. →根据k值求出展开式的有理项。 【解析】（1）通项公式为 因为第6项为常数项，所以r=5时，有=0，即n=10. （2）令=2，得， ∴所求的系数为。 （3）根据通项公式，由题意 令=k（k∈Z）,则10-2r=3k,即 ∵r∈Z,∴k应为偶数。 ∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8。所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 【总结升华】（1）求二项式系数最大项： ①如果n是偶数，则中间一项（第（）项）的二项式系数最大； ②如果n是奇数，则中间两项（第项与第+1项）的二项式系数相等并最大。 （2）求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为且第r+1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大项。 举一反三： 【变式1】已知。 （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项。 【解析】 （1）展开式的通项：， 故展开式中二项式系数最大的项为： （2）设第项的系数最大， 则 ，化简得， 解得:， ∴， 故所求展开式中系数最大的项为： 【变式2】已知展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值. 【解析】由题意， 即，∴n=6. ∴第4项的二项式系数最大. ∴即. ∴x=10或. 类型三、多项式转化为二项式的问题 【例4】试求下列二项展开式中指定项的系数. （1）的展开式中项的系数； （2）的展开式中项的系数； （3）的展开式中项的系数； （4）的展开式中x项的系数； （5）的展开式中项的系数； 【解析】 （1）借助“配方转化”：原式 ∴原展开式中项的系数，即展开式中项的系数 又展开式的通项公式为 令得r=3 ∴展开式中 ∴ 所求原展开式中项的系数为-960； （2）注意到的幂指数3较小，借助“局部展开”： 原式 ∴展开式中的系数为 =-590 （3） 法一:求和转化 原式 ∴ 所求原展开式中项的系数即为展开式中项的系数， ∴ 所求展开式中项的系数为 法二:集零为整 考察左式各部，展开式中项的系数为 （4） 法一： 上式中只有中含有的项， ∴所求原展开式中的系数是。 法二：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5， 此展开式中含x的项由(x+1)5中常数项乘以(x+2)5中的一次项与(x+1)5中的一次项乘以(x+2)5中的常数项合并而来 ∵ ∴(x2+3x+2)5展开式中x的系数是240。 法三：利用求解组合应用题的思路 注意到 ∴ 欲求展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，其余四个因式都取常数2即可。 ∴ 原展开式中x的一次项为 ∴ 所求原展开式中x的系数为240； （5） 法一：两次利用二项展开式的通项公式 注意到 其展开式的通项 ① 又的展开式的通项 ② 依题意 ， 由此解得，， ∴ 由①、②得所求展开式中项的系数为 法二：利用因式分解转化 ∴ 所求即为展开式中的系数， 于是利用“局部展开”可得其展开式中的系数为 =-168 【总结升华】多项展开式中某一项系数的主要求法 （1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。 （2）局部展开； （3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式； （4）借助求解组合应用题的思想 举一反三： 【变式1】展开式中常数项为____。 【解析】 ∴只要求(|x|-1)6展开式中的三项次即可 而(|x|-1)6展开式的通项为 令r=3 ∴ 从而原展开式的常数项为-20。 【变式2】在的展开式中的系数是（ ） A. –14 B. 14 C. –28 D. 28 【解析】， 又的展开式中的系数为，的系数为 ∴原展开式中的系数为 ，应选B。 类型四、赋值法的应用 【例5】设，求 ①展开式中各二项式系数的和； ②展开式中各项系数的和； ③的值 ④的值 ⑤的值 【思路解析】本题级出二项式及其二项展开式求各系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决。 【解析】令 ①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和 ②令，得 ∴展开式中各项系数的和 ③ 注意到 ∴ ∴ ④仿③得 又 ∴ ⑤ 法一： 由 ∴ 令，得 又 ∴ 法二：由二项式的展开式知， ∴ 又， ∴ ∴ 【总结升华】对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值。 举一反三： 【变式】若，求值： (1)； (2)； (3) 【解析】 （1）令，∴ ∴ （2）令，∴ ∴ ……… ① （3）令， ∴ ∴ ……… ② ①-②得： 类型五、二项式定理的综合应用 【例6】（1）求4×6n+5n+1被20除后的余数； （2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余数是多少？ （3）根据下列要求的精确度，求1.025的近似值。①精确到0.01；②精确到0.001。 【思路点拨】利用二项式定理展开式解决题型： （1）证明某些整除问题或求余数； （2）证明有关不等式； （3）进行近似计算； 【解析】（1）首先考虑4·6n+5n+1被4整除的余数。 ∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+…+Cn+1n·4+1， ∴其被4整除的余数为1， ∴被20整除的余数可以为1，5，9，13，17， 然后考虑4·6n+1+5n+1被5整除的余数。 ∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+…+Cnn-1·5+1)， ∴被5整除的余数为4， ∴其被20整除的余数可以为4，9，14，19。 综上所述，被20整除后的余数为9。 （2） 7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7 =(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1 =9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9+(－1)nCnn-1 (i)当n为奇数时 原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+（－1）n-1Cnn-1·9－2 ∴除以9所得余数为7。 (ii)当n为偶数时 原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9 ∴除以9所得余数为0，即被9整除。 （3）(1.02)5≈（1+0.02）5 =1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025 ∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5 ∴①当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10。 ②当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和，1+0.10+0.004+0.0008=1.10408，近似值为1.104。 【总结升华】解题方法归纳： （1）二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，。 （2）利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除（数）展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧； （3）由于的展开式共有n+1项，故可能对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的。而对于整除问题，关键是拆成两项利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除。 【例7】化简：； 【思路点拨】将已知所给式子配凑成二项式定理展开式形式，然后再加以化简。 【解析】令， 则 ∴ ， 即 故得 【总结升华】注意到二项展开式中各项的特征：，其中b的方幂与组合数上标相同。为利用二项式公式求解，依次对原式实施凑因子和凑项，即使各项中有关因子的方幂等于组合数上标，又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特征。 举一反三： 【变式1】求证：能被64整除。 【解析】 ∴能被64整除 【变式2】。 【解析】原式 【变式2】化简 【解析】x=， 则 由 得 ∴ 故得 即