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学海在线资源中心 简单的线性规划问题 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念； 2. 掌握线性规划问题的图解法. 3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力. 【要点梳理】 要点一：线性规划的有关概念： 线性约束条件： 如果两个变量、满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件． 线性目标函数： 关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫线性目标函数． 线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解、可行域和最优解： 在线性规划问题中， ①满足线性约束条件的解叫可行解； ②由所有可行解组成的集合叫做可行域； ③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题. 要点二:线性规划的应用 1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清. 2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务. 3.在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等. 要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等. 要点三:确定线性规划中的最优解 对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是： ① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； ② 画出可行域； ③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； ④作答． 要点诠释： 确定最优解的思维过程： 线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断. 对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步： 找整点---验证--- 选最优解 【典型例题】 类型一：求目标函数的最大值和最小值. 例1. 已知关于x、y的二元一次不等式组 (1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值； (2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值． 【解析】(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示． 由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小， 解方程组得C(－2,3)， ∴umin＝3×(－2)－3＝－9. 当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大， 解方程组得B(2,1)， ∴umax＝3×2－1＝5. ∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示． 由z＝x＋2y＋2，得，得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距最小，即z最小， 解方程组得A(－2，－3)， ∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6. 当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距最大，即z最大， ∴zmax＝4＋2＝6. ∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6. 【点评】 1.本题的切入点是赋予“”恰当的几何意义：纵截距或横截距； 2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得； 3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行． 举一反三： 【变式1】设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y的 最小值为 A．6 B．7 C．8 D．23 【答案】B 【解析】约束条件 ，表示的平面区域如图 易知过C(2,1)时，目标函数z＝2x＋3y取得最小值． ∴zmin＝2×2＋3×1＝7. 【变式2】求的最大值和最小值，使式中的、满足约束条件. 【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示： 从图示可知，直线在经过不等式组所表示的公共区域内的点时， 以经过点的直线所对应的最小， 以经过点的直线所对应的最大. 所以， . 【高清课堂：简单的线性规划问题392664 例2】 【变式3】已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为( )． A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】画出区域D，如图中阴影部分所示，而z＝， ∴y＝－x＋z，令l0：y＝－x，将l0平移到过点(，2)时，截距 z有最大值，故zmax＝×＋2＝4. 类型二：已知目标函数的最值求参数. 例2. (2015 湖南)若变量x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝　＿＿． 答案：－2． 解析：作出不等式对应的平面区域，(阴影部分) 由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z， 平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小． 目标函数为2x＋y＝－6， 由，解得， 即A(－2，－2)， ∵点A也在直线y＝k上， ∴k＝－2， 故答案为：－2． 【点评】这是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解. 举一反三： 【变式1】若满足约束条件目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则的取值范围（ ） A.(-1,2) B.(-4,2) C(-4,0) D.(-2,4) 【答案】B 【解析】可行域为△ABC，如图 当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率，a＜2. 当a＜0时，，∴a＞－4. 综合得－4＜a＜2. 【变式2】(2015 福建)变量x，y满足约束条件，若z=2x-y的最大值为2，则实数m等于( ) A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】 将目标函数变形为y=2x-z，当z取最大值，则直线纵截距最小，故当m≤0时，不满足题意；当m＞0时，画出可行域，如图所示， 其中．显然O(0，0)不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得m=1， 故选C． 例3.已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是　　（　） 　A.（-3,6）　B.（0,6）　C.（0,3）　D.（-3,3） O 2x – y = 0 y 2x – y + 3 = 0 【答案】C 【解析】 |2x－y＋m|＜3等价于 由右图可知 ,故0＜m＜3， 【点评】此例中充分利用了不等式的几何意义， 通过转化为图形语言进而转化为等价的不等式条件解得. 举一反三： 【高清课堂：简单的线性规划问题 392664 例2训练2】 【变式】已知变量x，y满足条件 若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线 x＋2y－3＝0的斜率，即，∴. 类型三：求非线性目标函数的最值 【高清课堂：一元二次不等式及其解法392664例3训练3】 例4. 设实数满足不等式组， 则的最大值为 . 【解析】作出可行域（如图）即所围区域(包括边界)，其顶点、、 【方法一】∵可行域内的点都在直线上方，∴ 则目标函数等价于 易得当直线在点处，目标函数取得最大值 为. 【方法二】 令为可行域内一动点、定直线， 则，其中为到直线的距离 由图可知 ∴. 【点评】求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值． 举一反三： 【高清课堂：一元二次不等式及其解法392664 例3训练4】 【变式】已知不等式组，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】作出可行域（如图）即所围区域(包括边界)，其顶点、、 ∵，∴， 令，为可行域内一动点、 则， ∵，∴， ∴，即的取值范围为. 类型四：实际问题中的线性规划. 【高清课堂：一元二次不等式及其解法392664 例4】 例5. 某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表： 产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦） A产品 3 9 4 B产品 10 4 5 已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？ 【解析】设生产A、B两种产品各x、y吨，利润为z万元 则，目标函数 作出可行域，如图所示， 作出在一组平行直线7x+12y=t（t为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线， 此直线经过点M（20，24） 故z的最优解为（20，24），z的最大值为7×20+12×24=428（万元）. 【点评】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 举一反三： 【变式1】（2016 新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元. 【答案】 设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么由题意得约束条件 目标函数. 约束条件等价于 ① 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示. 将变形，得，作直线：并平移，当直线经过点时， 取得最大值. 解方程组，得的坐标为. 所以当，时，. 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元. 【变式2】某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 产品A(件) 产品B(件) 研制成本与塔载 费用之和(万元/件) 20 30 计划最大资 金额300万元 产品重量(千克/件) 10 5 最大搭载 重量110千克 预计收益(万元/件) 80 60 试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 【答案】设搭载产品A x件，产品B y件， 预计总收益z＝80x＋60y. 则，作出可行域，如图． 作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，， 解得，即M(9,4)． 所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)． 答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．