知识讲解_空间点线面的位置关系(提高).doc

学海在线资源中心 空间点线面的位置关系 编稿：孙永钊 审稿: 【考纲要求】 （1）理解空间直线、平面位置关系的定义； （2）了解可以作为推理依据的公理和定理； （3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】 空间点线面位置关系 三个公理、三个推论 平面 平行直线 异面直线 相交直线 公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直线 概念 垂直 斜交 空间直线 与平面 空间两个平面 两个平面平行 两个平面相交 三垂线定理 直线与平面所成的角 【考点梳理】 考点一、平面的基本性质 1、平面的基本性质的应用 （1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内； （2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论： （1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 （1）点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。 （2）线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。 要点诠释：证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。 考点二、直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） ②范围： 要点诠释：证明两直线为异面直线的方法： 1、定义法（不易操作） 2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 3、客观题中，也可用下述结论： 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图： 考点三、直线和平面、两个平面的位置关系 1、直线和平面的位置关系 位置关系 直线a 在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 图形表示 2、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 0 两平面相交 斜交 有无数个公共点在一条直线上 垂直 有无数个公共点在一条直线上 考点四、平行公理、等角定理 平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面） 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 要点诠释： （1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力； （2）通过判断位置关系，考查空间想象能力； （3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题； （4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。 【典型例题】 类型一、异面直线的判定 例1已知空间四边形ABCD. (1)求证：对角线AC与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状; (3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇 【证明】(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面， 所以A、B、C、D四点共面 这与空间四边形ABCD的定义矛盾 所以对角线AC与BD是异面直线 (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC. 同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形. 又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角. ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形. (3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求. 【点评】在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。 举一反三： 【变式】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问： （1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。 【解析】（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。 （2）是异面直线。证明如下： ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线 【点评】（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。 类型二、平面的基本性质及平行公理的应用 例2.(2015春 九江校级期末)如图，在矩形ABCD(AB<AD)中，将沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H. (1)证明：AF//HG (2)如果点C的对应点H恰好落在边AD上，判断四边形AECH的形状，并说明理由. 证明：(1)由轴对称性质可得， (2)四边形AECH是菱形，理由如下： 如图(2)连接CH. 四边形AECH是平行四边形. 又由(1)得到 四边形AECH是菱形. 举一反三： 【变式】(2015春 南昌其中)如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD平面PBC= (1)判断BC与的位置关系，并证明你的结论； (2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论. 证明：(1)结论：理由如下： ，平面PAD, 平面PAD 平面PAD 又平面PBC，平面PAD平面PBC= (2)结论：MN//平面PAD 证明：取CD的中点Q，连接NQ，MQ 则NQ//PD,MQ//AD又, 平面MNQ//平面PAD.又平面MNQ MN//平面PAD 类型三、异面直线所成的角 例3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。 【答案】取AC的中点G，连接EG、FG，则EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。 ∵ＡＢ与CD所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。 【解析】要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。 【点评】（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移； （2）求异面直线所成角的步骤： ①作：通过作平行线，得到相交直线； ②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； ③求：通过解三角形，求出该角。 类型四、点共线、线共点、线共面问题 例4．如图，已知：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：FE、HG、DC三线共点． 证明：连结C1B，HE，FG，由题意知HC1平行与EB，∴四边形HC1BE是平行四边形． ∴HE∥C1B. 又C1G＝GC＝CF＝BF， 故GFC1B， ∴GF∥HE，且GF≠HE， ∴HG与EF相交． 设交点为K， 则K∈HG， HG⊂平面D1C1CD， ∴K∈平面D1C1CD. ∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD. ∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC， ∴K∈DC，∴FE、HG、DC三线共点。 举一反三： 【高清课堂：空间点线面的位置关系例2】 【变式】如右图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K。求证：M、N、K三点共线。 【证明】 因为M∈PQ平面PQR，M∈BC平面BCD，又因为M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上。 同理可证：N、K也在l上，所以M、N、K三点共线。 例5．. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点， A B E C D F A1 B1 C1 D1 求证：(1) E、C、D1、F四点共面； (2) CE、D1F、DA三线共点． 【证明】(1) 连结A1B 则EF∥A1B A1B∥D1C ∴EF∥D1C ∴E、F、D1、C四点共面 (2) 面D1A∩面CA＝DA ∴EF∥D1C 且EF＝D1C ∴D1F与CE相交 又D1F面D1A，CE面AC ∴D1F与CE的交点必在DA上 ∴CE、D1F、DA三线共点． 【高清课堂：空间点线面的位置关系例3】 【变式】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点， 求证：CE、D1F、DA三线共点 【证明】因为EF//CD1且等于CD1，所以分别连接D1F、CE并延长交于一点P。 因为D1F平面A1D1DA，所以P∈平面A1D1DA 又因为CE平面AC，所以P∈平面ABCD，因为平面A1D1DA∩平面ABCD=AD， 所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三线共点。