（13）经验归纳法【知识精读】1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如①由(－1)2＝1，（－1）3＝－1，（－1）4＝1，……，归纳出－1的奇次幂是－1，而－1的偶次幂是1。②由两位数从10到99共90个（9×10），三位数从100到999共900个（9×102），四位数有9×103＝9000个（9×103），…………归纳出n位数共有9×10n-1(个)③由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42……推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）【分类解析】例1平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点，12第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋23第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4………第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点由此断定n条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×,即个交点。例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n是正整数）解：当n＝1时，3n＝3,（n＋1）！＝1×2＝2当n＝2时，3n＝9，（n＋1）！＝1×2×3＝6当n＝3时，3n＝27,（n＋1）！＝1×2×3×4＝24当n＝4时，3n＝81,（n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120当n＝5时，3n＝243,（n＋1）！＝6！＝720……猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。例3求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x...
