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学海在线资源中心 函数与方程 【学习目标】 (1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点； (2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系； (3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法. 【要点梳理】 要点一：函数的零点 1.函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 要点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． ④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点）． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 要点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 要点诠释： 讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布． （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧． 设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2． ①； ②； ③； ④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且． 要点三：二分法 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 【经典例题】 类型一、求函数的零点 例1．已知函数． （1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0； （2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点； （3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负． 【解析】（1）方程有三个根x1=―3，x2=―1，x3=2． （2）函数的图象如右图，零点为―3，―1，2． （3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正． 【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2； （2）可以用描点的方法画出函数图象的简图； （3）在x轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负． 举一反三： 【变式1】已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n 【答案】B 【解析】由函数，我们可以看到a、b为的零点，且，如右图，则应有a＜m＜n＜b，故选B． 例2.若一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，那么函数的零点是 ． 【思路点拨】由题意可知，2a+b=0，即b=－2a；代入并令g（x）=0解得x=0或． 【答案】0， 【解析】∵一次函数f（x）=ax+b有一个零点2， ∴2a+b=0，即b=－2a； ∴令， 解得，x=0或； 故答案为：0，． 【总结升华】本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系． 举一反三： 【变式1】求函数：(1)；(2)的零点. 【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2． 【解析】(1)由求根公式解得 (2)方程可化为 由知 所以函数的零点为-3，1；函数的零点为-3，1，2. 【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化. 类型二、函数零点的存在性定理 例3．已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？ 【答案】没有实数根 【解析】先求出及的值，进而确定和的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定在上有实数根． ， 且函数的图象是连续曲线， 在区间内有实数根 【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程在区间内有实数根，不一定有． 举一反三： 【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点： （1） （2）； （3）． 【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在． 【解析】（1） 故在上存在零点． （2） 故在区间上存在零点． （3）， ， 故在区间上存在零点． 【高清课程：函数与方程377543 例3】 【变式2】若函数，则下列判断正确的是（ ） A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解 B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解 C．函数f（x）是奇函数 D．函数f（x）是偶函数 【答案】A 类型三、一元二次方程根的分布 例4．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0． （1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求的取值范围． （2）若方程两根均在区间（0,1）内，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）条件说明函数的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知， ，∴． ∴． （2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有． ∴． ∴． 【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用． 举一反三： 【变式1】关于x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时： （1）方程有一根； （2）方程有一正一负根； （3）方程两根都大于1； （4）方程有一根大于1，一根小于1． 【答案】（1）或（2）（3）不存在实数（4） 【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即，符合题意； 当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得．综上可知，当或时，关于的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0有一根． （2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得．又解得． （3）方程两根都大于1，图象大致如图 所以必须满足 或两不等式组均无解． 所以不存在实数，使方程两根都大于1． （4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图 所以必须满足或解得． 类型四、用二分法求函数的零点的近似值 例5.（2016 河南许昌月考）已知函数． （1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点； （2）若f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f（x）=0的一个近似解（精确到0.1）． 【思路点拨】（1）根据函数零点存在定理即可判断． （2）由二分法的定义进行判断，根据其原理——零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越接近的特征选择正确答案． 【答案】（1）略；（2）1.3 【解析】（1）证明：∵， ∴f（1）=－1＜0，f（2）=7＞0， ∴f（1）·f（2）=－7＜0 且在（1，2）内连续， 所以f（x）在区间（1，2）上存在零点； （2）由（1）知在（1，2）内存在零点， 由表知，f（1）=―1，f（1.5）=1， ∴f（1）·f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1，1.5）上， ∵f（1.25）=―0.40625，∴f（1.25）·f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.5）上， ∵f（1.375）=0.18359，∴f（1.25）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.375）上； ∵f（1.3125）=－0.31818，∴f（1.3125）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.375）上， ∵f（1.34375）=0.01581，∴f（1.3125）·f（1.34375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.34375）上， 由于｜1.34375－1.3125｜=0.03125＜0，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3， 所以f（x）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3． 【总结升华】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解，属于基本概念的运用题． 举一反三： 【高清课程：函数与方程377543 例4】 【变式1】若函数的一个正数零点附近的函数值 用二分法计算，其参考数据如下： f（1）=－2 f（1.5）=0.625 f（1.25）=－0.984 f（1.375）=－0.260 f（1.4375）=0. 162 f（1.40625）=－0. 054 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【变式2】设，用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ） A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定 【思路点拨】由已知“方程在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号． 【答案】B 【解析】∵f（1.5）•f（1.25）＜0， 由零点存在定理，得， ∴方程的根落在区间（1.25，1.5）． 故选B． 【总结升华】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理： 一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点． 类型五、用二分法解决实际问题 例6.某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益． （1）求2010年每台电脑的生产成本； （2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01） 【答案】（1）3200；（2）11% 【解析】（1）设2010年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）． 故2010年每台电脑的生产成本为3200元． （2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x＜1），令f(x)=5000(1―x)4―3200，作出x，f (x)的对应值表： x 0 0.1 0.15 0.2 0.3 0.45 f (x) 1800 80.5 －590 －1153 －2000 －2742 观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x0．取区间（0.1，0.15）的中点x1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x0∈(0.1，0.1125)． 同理可得，x0∈(0.1，0.10625)，x0∈(0.103125，0.10625)，x0∈(0.104687，0.10625)，x0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%． 举一反三： 【变式1】如右图所示，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子． （1）求出盒子的体积y（cm3）以x（cm）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域； （2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？（精确到0.1 cm） 【答案】（1）y=x(15－2x)2 0＜x＜7.5 （2）0.8 cm或4.7 cm 【解析】（1）由题意，盒子的体积y以x为自变量的函数解析式y=x(15－2x)2，其定义域为，即0＜x＜7.5． （2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(15―2x)2=150的近似解． 设g(x)=x(15―2x)2―150，由于g(0)·g(1)＜0且g(4)·g(5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm或4.7 cm．