知识讲解 立体几何中的向量方法（提高）126.doc

学海在线资源中心 立体几何中的向量方法 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量。 2. 能用向量方法证明有关直线和平面的平行与垂直。 3. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。 4. 能用向量方法计算两点、点线、点面、面面距离。 【要点梳理】 要点一、直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 要点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。 （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。 2. 平面的法向量定义： 已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。 要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。 3.平面的法向量确定通常有两种方法： （1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为n=（x，y，z）； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 要点二、用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。 （1）线线平行 设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即。 （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即。 ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。 ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。 （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。 ②若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明。 要点三、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。 （1）线线垂直 设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。 （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明。 ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。 （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。 ②证明两个平面的法向量互相垂直。 要点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则。 要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有。 （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°。 若分别为面，的法向量， 则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。 ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。 ②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。 要点五、 用向量方法求空间距离 1. 求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量。 2. 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 【典型例题】 类型一、求平面的法向量 例1． 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在BC、DD1上是否存在点E、F，使成为平面ABF的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 由于本题所研究的问题是在正方体这样特殊的几何体中，所以可以用坐标向量求解． 【解析】如图所示的空间直角坐标系， 则A（1，0，1），B（1，1，1），B1（1，1，0）． 设F（0，0，h），E（m，1，1）， 则，，． ∵，∴AB⊥B1E．若是平面ABF的法向量，则 ，∴h=m．即E、F满足D1F=CE时，是平面ABF的法向量． 故存在，且E、F满足D1F=CE． 【总结升华】 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 举一反三： 【变式1】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，求平面CD1E的一个法向量。 【答案】如图，建立空间直角坐标系D-xyz， 则A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1）， 所以E（1，1，0） 所以，。 设平面CD1E的法向量=（x，y，z），则： ，。 所以，所以。 令y=1，则x=1，z=2。 所以平面CD1E的一个法向量为（1，1，2）。 【变式2】已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD。求证：是平面PDC的法向量。 【答案】如图，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1， 则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1） ∴, ∴， ∴, 即⊥平面PCD, 所以为平面PCD的法向量。 类型二、利用向量研究平行问题 例2． 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点． 求证：MN∥平面A1BD． 【思路点拨】 这是证明线面平行问题，可以利用三种方法证明：一是证明与平面A1BD的法向量垂直；二是在平面A1BD内找一向量与共线；三是证明可以利用平面A1BD中的两不共线向量线性表示． 【解析】 解法一：如图以D为原点，DA、DC、DD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则、、D（0，0，0）、A1（1，0，1）、B（1，1，0），于是， 设平面A1BD的法向量是n=（x，y，z）， 则，且，得． 取x=1，得y=－1，z=－1．∴n=（1，－1，－1）． 又，∴． MN∥平面A1BD． 解法二：∵，∴，∴MN∥平面A1BD． 解法三：∵ ． 即可用与线性表示，且与不共线，故与、是共面向量，∴∥平面A1BD，即MN∥平面A1BD． 【总结升华】 要用向量方法证明直线与平面平行，可以用共面定理来证明，即证明直线的方向向量可以用平面内两个向量线性表示；也可证明该直线的方向向量与平面内某直线平行，此时注意说明直线在平面内． 本例解法一是建立坐标系，通过坐标运算证明结论，解法二和解法三没有建系，直接通过向量的分解等运算进行证明，当然，在解法二和解法三中也可通过建立坐标系，利用坐标运算来证明． 举一反三： 【变式】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面,,，为的中点，为的中点，求证：直线平面。 【解析】如图,分别以AB,AD,AO所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则,,,,,,, ∴,, 法一：∵,∴共面 又平面，平面,平面, 平面 法二：设平面的法向量为,则 ，即 ，取,得 ， 又平面，平面。 例3.正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面EFBD． 【思路点拨】即证平面AMN与平面EFBD的法向量乘积为零。 【解析】 如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），M（2，0，4）， N（4，2，4），D（0，0，0），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4）． 取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，则G（3，1，4），K（1，3，4），Q（2，2，0）． ∴，，，． 可见，，∴MN∥EF，AG∥QK，∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD． 又MN∩AG=G，∴平面AMN∥平面EFBD． 【总结升华】证两个面、平行，只需求出平面、的法向量，，再证出即可。 举一反三： 【变式】 如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。 求证：平面EGF∥平面ABD。 【答案】如图所示，由条件，知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA、BC、BB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标。 由条件知B（0，0，0）、D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA=a， 则A（a，0，0）。 所以，，。 ，。 所以B1D⊥BA，B1D⊥BD。因此B1D⊥平面ABD（1） 由E、F、G的定义，知E（0，0，3）、、F（0，1，4）。 所以，， ，。 所以B1D⊥EG，B1D⊥EF。 所以B1D⊥平面EFG。 结合（1），可知平面EGF∥平面ABD。 类型三、利用向量研究垂直问题 例4．如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点。求证：A1P⊥平面DMN。 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则D（0，0，0），A1（2，0，2），P（0，1，0），M（0，2，1），N（1，2，0） 法一：∵ ∴ ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN，又∵DM∩DN=D ∴A1P⊥平面DMN 法二：设平面DMN的法向量为=（1，x，y） 由（1），（2）解得 又 ∴ ∴⊥面DMN 即直线A1P⊥面DMN 【总结升华】证明线面垂直常用的两种方法：一是证明直线与平面内的两条相交直线垂直；二是证明直线与平面的法向量平行。 举一反三： 【变式】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC。 【答案】如图，建立空间直角坐标系， 不妨假设正方体的棱长为2， 则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0）。 则，， ∵， 所以OB1⊥AC，OB1⊥AP。 所以OB1⊥平面PAC。 例5． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE． 【思路点拨】 若要在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE，需建立恰当的空间直角坐标系，并设出点P的坐标，求出平面A1B1P与平面CDE的法向量，建立方程求出点P的坐标，确定点P的位置． 【解析】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则A1（1，0，1），B1（1，1，1），E（，1，0）， C1（0，1，1），设P的坐标为（0，1，a）． ∴，，，。 设平面A1B1P的一个法向量为n1=（x，y，z）， 则． 令z=1，则得x=a－1，所以平面A1B1P的一个法向量为n1=（a－1，0，1）． 设平面C1DE的一个法向量为n2=（x，y，z）， 则，令y=1，则得x=－2，z=－1， 所以平面C1DE的一个法向量为n2=（－2，1，－1）． 要使平面A1B1P⊥平面C1DE，则n1·n2=0－2(a－1)－1=0，解得， 所以当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE． 【总结升华】 要用向量方法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再检验它们的数量积是否为零即可．但在求这两个平面的法向量时应小心谨慎，只要一个求错，就会得出错误的结论． 举一反三： 【变式】 在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB 上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2。 求证：平面GEF⊥平面PBC． 【答案】 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 令PA=PB=PC=3，则A（3，0，0）、B（0，3，0）、C（0，0，3）、E（0，2，1）、F（0，1，0）、G（1，1，0）、P（0，0，0）． 于是，，故，∴PA∥FG． 而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC． 又FG平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC． 类型四、利用向量求空间角 【高清课堂：立体几何中的向量方法399112例题1】 例6. 如图，在正方体中，点，分别是,的一个四等分点，求与所成的角的余弦值． 【解析】 与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，我们可以通过，的坐标表示，计算出它们的数量积与模，进而求出它们所成角的余弦值． 不妨设正方体的棱长为1，分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则． 所以,, , ,,． 所以, 因此，与所成的角的余弦值是． 【总结升华】用空间向量法来研究两条异面直线所成的角的一般步骤是：建立适当的空间坐标系→确定相应的点的坐标→确定相应的点的向量的坐标→用夹角公式确定两条异面直线所成的角． 举一反三： 【变式】（2015 新课标Ⅱ卷） 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值． 【解析】 （Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图： （Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EM=AA1=8，因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10．于是，所以AH=10．以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8），，．设是平面EHGF的法向量，则即所以可取．又，故．所以直线AF与平面α所成角的正弦值为． 例7． 如图，在正四面体中，为的中点，求直线与平面成的角． 【解析】 建立以三角形的中心为原点，，依次为轴，轴，轴平行于． 设正四面体的棱长为， 则 ∴ ∵为的中点，∴ ∴ 又因为平面的法向量为， ∴即与平面成的角满足 即与平面所成的角为． 【总结升华】用传统几何法求直线与平面所成的角，关键是找出与已知平面垂直的直线，从而确定斜线在面内的射影，得到斜线和平面所成的角，计算在三角形中进行．用向量法求直线与平面所成的角，关键是建立恰当的坐标系，求出斜线对应向量的坐标和平面的法向量坐标，由夹角公式及线面角与线线角的关系得到结果． 举一反三： 【高清课堂：立体几何中的向量方法399112例题2】 【变式1】 已知正方体，点是的中点，点在上，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 设正方体棱长为4，建立空间直角坐标系D—xyz, 则知A（4,0,0）, C(0，4，0), D1(0，0，4) ， 设 得 令． ∴直线与平面所成角的正弦值为. 【变式2】四棱锥中，底面为平行四边形，，，，侧面底面．． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． D B C A S 【答案】 （1）作，垂足为，连结， 由侧面底面，得平面． 因为，所以． 又，为等腰直角三角形，． 如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系， ，，，， ∵，， ∴，所以． （2）取中点，中点，连结，， 则，． ，，． ，，∴， 所以平面， 与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余． ，． ，， 所以，直线与平面所成的角的正弦值为． 例8.如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，且BE⊥AE。求二面角的余弦值； 【思路点拨】可建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求解． 【解析】 （Ⅰ）分别作、的中点、，则，， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系， 则，,，，,. ∴，，,， 平面的法向量 设平面的法向量，则，， ∴即，令，则，∴， ∴, 故二面角的余弦值为. 【总结升华】求二面角，我们往往转化为线线角（即两个面的法向量的夹角），利用夹角公式完成．需要指出的是，用向量法研究立体几何问题，概念的准确理解，辅助线的合理构造，依然是关键和重要的． 举一反三： 【变式】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，,点是的中点，作⊥交于点． (1) 求证：⊥平面； (2) 求二面角的大小． 【答案】如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设． 则有． （1）依题意得．又， 故． 所以⊥． 由已知⊥，且． 所以⊥平面． (2) 已知⊥，由（1）可知⊥，故是二面角的平面角．设点的坐标为，则． 因为， 所以，即． 因为, 所以． 所以，点的坐标为， 所以． 所以，即二面角的大小为． 例9.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）M到直线PQ的距离；（2）M到平面AB1P的距离。 【思路点拨】用空间向量求点线距和点面距，都要首先找到一条M到线和面的斜线段。 【解析】 如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2）， （1）∵， ∴上的射影的模 故M到PQ的距离为 （2）设是平面的某一法向量，则， ∵∴ 因此可取，由于，那么点M到平面的距离为 ，故M到平面的距离为。 【总结升华】法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等． 举一反三： 【变式1】（2015春 广安校级月考）已知直线l的方向向量，点A（1，2，―1）在l上，则点P（2，―1，2）到l的距离为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】　C 【解析】 连接AP,做P垂直直线l交于B，则，所以. 【变式2】已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点． 求点A1到平面的BDEF的距离； 【答案】 如图，建立空间直角坐标系D—xyz, 则知B（1，1，0）， 设 得则 令． 设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段． 即点A1到平面BDFE的距离为1．