知识讲解 生活中的圆周运动 基础.doc

学海在线资源中心 生活中的圆周运动 编稿：周军 审稿：吴楠楠 【学习目标】 1、能够根据圆周运动的规律，熟练地运用动力学的基本方法解决圆周运动问题。 2、学会分析圆周运动的临界状态的方法，理解临界状态并利用临界状态解决圆周运动问题。 3、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。 【要点梳理】 要点一、静摩擦力提供向心力的圆周运动的临界状态 要点诠释： 1、水平面上的匀速圆周运动，静摩擦力的大小和方向 物体在做匀速圆周运动的过程中，物体的线速度大小不变，它受到的切线方向的力必定为零，提供向心力的静摩擦力一定沿着半径指向圆心。这个静摩擦力的大小，它正比于物体的质量、半径和角速度的平方。 当物体的转速大到一定的程度时，静摩擦力达到最大值，若再增大角速度，静摩擦力不足以提供物体做圆周运动所需要的向心力，物体在滑动摩擦力的作用下做离心运动。 临界状态：物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。此时物体的角速度（为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。 2、水平面上的变速圆周运动中的静摩擦力的大小和方向 无论是加速圆周运动还是减速圆周运动，静摩擦力都不再沿着半径指向圆心，静摩擦力一定存在着一个切向分量改变速度的大小。如图是在水平圆盘上的物体减速和加速转动时静摩擦力的方向：（为了便于观察，将图像画成俯视图） 要点二、竖直面上的圆周运动的临界状态 要点诠释： 1.汽车过拱形桥 在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于变速圆周运动，需要特别注意几种具体情况下的临界状态。 例如：汽车通过半圆的拱形桥，讨论桥面受到压力的变化情况 （1）车在最高点的位置Ⅰ时对桥面的压力 对车由牛顿第二定律得： 为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即 所以车的速度应满足关系 临界状态：汽车在最高点处桥面对汽车的支持力为零，此时汽车的速度。 如果，在不计空气阻力的情况下，汽车只受到重力的作用，速度沿着水平方向，满足平抛运动的条件，所以从此位置开始，汽车将离开桥面做平抛运动，不会再落到桥面上。 （2）汽车沿着拱形桥面向下运动时车对于桥面的压力 当汽车在跨越最高点后的某一位置Ⅱ时 由牛顿第二定律得 解得汽车对于桥面压力的大小 可见在汽车速度大小不变的情况下，随着角的不断减小，汽车对桥面的压力不断减小。 临界状态：当时，汽车对桥面的压力减小到零。从此汽车离开桥面做斜下抛运动。 所以要使得汽车沿着斜面运动，其速度必须满足：，即车的速度。 2.细线约束的小球在竖直面上的变速圆周运动 例如，用长为R的细绳拴着质量是m的物体，在竖直平面内做圆周运动。 mg T V 在最高点处，设绳子上的拉力为T 根据牛顿第二定律列方程得： 由于绳子提供的只能是拉力， 所以小球要通过最高点，它的速度值。 临界状态：在最高点处，当只有重力提供向心力时，物体在竖直面内做圆周运动的最小速度是。 若在最高点处物体的速度小于这个临界速度，便不能做圆周运动。事实上，物体早在到达最高点之前，就已经脱离了圆周运动的轨道，做斜上抛运动。 3.轻杆约束小球在竖直面上的变速圆周运动 例如，一根长度为R轻质杆一端固定，另一端连接一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。 在最高点，设杆对球的作用力为FN，规定向下的方向为正方向， 根据牛顿第二定律列方程得： 因为杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以 当时，杆对球提供向上的支持力，与重力的方向相反； 当时，这与绳子约束小球的情况是一样的。 所以轻杆约束的情况可以存在两个临界状态： ①在最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力，大小等于小球的重力； ②在最高点处的速度是时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力。 球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力；球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。 要点三、物体做离心与向心运动的条件 外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动； 外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动 外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动 要点四、处理圆周运动的动力学问题时应注意的问题 （1）确定向心力的来源。 向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力。 （2）确定研究对象的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。 例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图所示，小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O′点，而不是在球心O，也不在弹力FN所指的PO线上。 （3）物体在静摩擦力作用下做匀速圆周运动时，相对滑动的临界条件是恰好达到最大静摩擦力。 （4）物体在不同支承物（绳、杆、轨道、管道等）作用下，在竖直平面做圆周运动，通过最高点时的临界条件。 ①轻绳模型 如图所示没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： 注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：得 （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 能过最高点的条件：，当时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． 不能过最高点的条件：，实际上球还没到最高点时就脱离了轨道. ②轻杆模型 （2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，管壁支撑情况与杆一样。 当v＝0时，N＝mg（N为支持力） 当 时， N随v增大而减小，且，N为支持力． 当v=时，N＝0 当v＞时，N为拉力，N随v的增大而增大 若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力． 【典型例题】 类型一、水平圆周运动的临界问题 例1、如图所示，细绳的一端系一小球，另一端悬于光滑的水平面上方处(h小于绳长)，球在水平面上以转速做匀速圆周运动，求水平面受到的压力多大？要使球离开水平面，转速的值至少为多大？ 【思路点拨】将此问题看成是一般的动力学问题，其加速度是向心加速度，按照解决动力学问题的一般方法，可以将问题解决。 【解析】本题属于圆锥摆问题，物体的运动轨迹在水平面上。 对球受力分析并进行正交分解，如图所示： 由牛顿第二定律得 ① ② 由①②式得 若要使得球离开平面，则， 有 所以 【总结升华】分析临界条件是解决综合性问题的重要环节。球恰好离开平面是一种临界状态，出现此临界状态的条件是球和平面的作用力为零。 类型二、竖直圆周运动的临界问题 例2、(2015 绵阳三模)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时（ ） A. 球B的速度为零 B. 球A的速度大小为 C. 水平转轴对杆的作用力为1.5mg D. 水平转轴对杆的作用力为2.5mg 【答案】C 【解析】A、球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力， 有：，解得： ①，故A错误； B、由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小，故B错误； C、B球到最高点时，对杆无弹力，此时A球受重力和拉力的合力提供向心力，有：，解得：故C正确，D错误。 举一反三 【高清课程：圆周运动的实例分析 例9】 【变式】质量为m的小球，用长为l的线悬挂在O点，在O点正下方处有一光滑的钉子C，把小球拉到与O在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，如图所示.将小球从静止释放.当球第一次通过最低点P时0( ) A.小球线速度突然增大 B.小球角速度突然增大 C.小球的向心加速度增大 D.摆线上的张力突然增大 【答案】BCD 类型三、机车转弯问题 例3、(2015 景德镇三检)如图所示，在某外高内低的弯道测试路段上汽车向左转弯，把汽车的运动看作是在水平面内做半径为R的匀速圆周运动。设路面内外高度相差h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，已知重力加速度为。要使车轮与路面之间垂直前进方向的横向摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于(　 　) A． B． C. D. 【答案】C 【解析】设路面的斜角为，要使车轮与路面之间的横向摩擦力等于零，则汽车转弯时，由路面的支持力与重力的合力提供汽车的向心力，作出汽车的受力图，如图： 根据牛顿第二定律，得： 又由数学知识得到：，联立解得：  【总结升华】必须明确：尽管路面是有一定坡度的，汽车是在一个水平面内做圆周运动，向心力是水平的不是沿着斜面的。 类型四、连接体的圆周运动的临界问题 例4、 如图所示水平转盘可绕竖直轴旋转，盘上水平杆上穿着两个质量相等的小球A和B，现将A和B分别置于距轴r和2r处，并用不可伸长的轻绳相连，已知两个球与杆之间的最大静摩擦力都是，试分析转速从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，A、B受力情况如何变化？ 【思路点拨】解决本题关键是：动态的分析物理过程，发现隐藏在过程中的临界状态；理解最大静摩擦力出现的条件，弄清外力提供的向心力和圆周运动需要的向心力对运动的影响。 物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态，它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供。“离心”与“向心”现象的出现，是由于提供的合外力与某种状态下所需的向心力之间出现了矛盾。当“供”大于“需”时，将出现“向心”，当“供”小于“需”时，物体将远离圆心被甩出。 对于此题，当转动角速度增大到某一个值时，A和B将发生离心现象，向B一侧甩出，此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧。而刚开始转动时，A所受摩擦力应指向圆心，而且绳上没有张力。 【解析】当转动角速度增大到某一个值时，A和B将发生离心现象，向B一侧甩出，此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧。而刚开始转动时，A所受摩擦力应指向圆心，而且绳上没有张力。 （1）由于ω从零开始逐渐增大，当较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力。 对 A球： 对B球： 随增大，静摩擦力f不断增大，直到时将有，即， （这是一个临界状态） （2）当时，绳上的张力T将出现。 对A球： ① 对B球： ② 由②式，当增加到时，绳上张力将增加，增加的张力 由①式，， 可见△fA＜0，即随ω的增大，A球所受摩擦力将不断减小。 （3）当时，设此时角速度 对A球，，对B球， （4）当角速度从ω2继续增加时，A球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧，并随ω的增大而增大，直到为止，设此时角速度， A球： B球： （5）当时，A和B将一起向B侧甩出。 【总结升华】(1)由于A、B两球角速度相等，向心力公式应选用F＝mrω2； (2)分别找出ω逐渐增大的过程中的几个临界状态，并正确分析各个不同阶段的向心力的来源及其变化情况，揭示出小球所需向心力的变化对所提供向心力的静摩擦力及绳子拉力之间的制约关系，这是求解本题的关键。动态分析也是物理学中重要的分析方法，努力的通过此题加以体会、实践。 （3）对于两个或两个以上的物体，通过一定的约束，绕同一转轴做圆周运动的问题，一般求解思路是：分别隔离物体，准确分析受力，正确画出力图，确定轨道半径，注意约束关系（在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系）。 举一反三 【变式1】如图所示在水平转台上放一质量为M的木块，木块与转台间的最大静摩擦因数为，它通过细绳与另一木块m相连。转台以角速度转动，M与转台能保持相对静止时，它到转台中心的最大距离和最小距离分别为多大？ 【解析】假设转台光滑，M在水平面内转动时，竖直方向上平台对M的支持力与Mg相平衡，绳子的拉力提供M做圆周运动的向心力。因为M与转台保持相对静止时，所以绳子的拉力T=mg。设此时M距离中心的半径，则： 对M，， 即： 讨论：（1）若R为最小值，M有向圆心运动的趋势，故转台对M有背离圆心的静摩擦力，大小为。 对m仍有T=mg 对M有： 解得 （2）若R为最大值，M有背离圆心运动的趋势，故转台对M有指向圆心、大小为的静摩擦力 对m仍有T=mg 对M有： 解得 【高清课程：圆周运动的实例分析 例3】 【变式2】甲、乙两名溜冰运动员，M甲 = 80kg，M乙 = 40kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示．两人相距0.9m，弹簧秤的示数为9.2N，下列判断中正确的是（ ） A．两人的线速度相同，约为40m/s B．两人的角速度相同，约为6rad/s C．两人的运动半径相同，都为0.45m D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m 【答案】D