巩固练习_空间角、空间距离(提高).doc

学海在线资源中心 【巩固练习】 1．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β， 则x的值为 (　　) A．10　　　　　　 B．－10 C. D．－ 2.（2015 广西模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（　　） A． B． C． D． 3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小 是（ 　） A． B． C． D． 4. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5． 设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 7. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 8.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 9．已知 ＝(2,2,1)， ＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________． 10.（2014秋 青羊区校级期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=2．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M﹣PAB、三棱锥M﹣PBC、三棱锥M﹣PCA的体积．若f（M）=（，x，y），则的最小值是　　． 11．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与 平面PAC所成的角是________． 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°. （1）证明：平面ADB⊥平面BDC； （2）设E为BC的中点，求 与 夹角的余弦值． A E D C B A1 F D1 C1 B1 13．如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1． （1）求二面角C-DE-C1的正切值； （2）求直线EC1与FD1所成的余弦值． 14．已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝，AB＝1，M是PB的中点． （1）证明：平面PAD⊥平面PCD； （2）求AC与PB所成的角； （3）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值． 15. （2015 兴安盟一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点． （1）求证：B1C∥平面A1BD； （2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小； （3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值． 【参考答案与解析】 1．【答案】B 【解析】∵α⊥β，∴a·b＝0∴x＝－10. 2.【答案】A 【解析】取AC的中点为F，连接BF、DF． 因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF． 过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角． 因为AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以 ∠FBG=∠BCA=．故选A． 3.【答案】C 4.【答案】D 【解析】 以D点为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则相关点的坐标为C(0,1,0)，E(，，1)，B(1,1,0)，　D(0,0,0)， ∴ ＝(，－，1)， ＝(－1，－1,0)． ∴ · ＝－＋＋0＝0. ∴ ⊥ ，即CE⊥BD. 5．【答案】C 【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1，0，0)，E(1，，0)，C(0，1，0)．设平面A1ECF的法向量为n=(x，y，z)，则由=0及=0，可得x=z=y，于是可取n=(1，，1)． ，，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30°，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60°．而其它的面对角线所在的向量均不满足条件．[来源:学&科&网] 6.【答案】B 【解析】 分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． ∵A1M＝AN＝a， ∴M(a，a，)，N(a，a，a)． ∴ ＝(－，0，a)． 又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)， ∴ ＝(0，a,0)． ∴ · ＝0，∴⊥ . ∵ 是平面BB1C1C的法向量， 且MN⊄平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 7.【答案】B 【解析】 以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2， 则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0，1)， ∴ ＝(0，－1,1)， ＝(2,0,2) ∴cos〈 ， 〉＝ ＝＝.∴EF与BC1所成角为60°. 8.【答案】C 【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系 则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)， ＝(a，a,0)， ＝(0,2a,2a)， ＝(a，－a,0)， ＝(0,0,2a)， 设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)， 由⇒⇒⇒ n1＝(1，－1,1)． sinθ＝＝＝. 9．【答案】(，－，)或(－，，－) 【解析】 设平面ABC的法向量n＝(x，y,1)， 则n⊥ 且n⊥ ， 即n· ＝0，且n·＝0. 即即 ∴n＝(，－1,1)，单位法向量为±＝±(，－，)． 10.【答案】3+； 【解析】∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=2． ∴V P﹣ABC=3×2×2=2=x+y， 即x+y=，所以=（5+）≥3+； 当且仅当时=成立；故答案为：3+； 11．【答案】30° 【解析】 如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则A(a,0,0)，B(0，a,0)， C(－a,0,0)，P(0，－，)， 则 ＝(2a,0,0) ＝(－a，－，)， ＝(a，a,0)， 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)， 则cos〈 ，n〉＝＝＝， ∴〈 ，n〉＝60°.∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°. 12．【解析】 (1)证明：∵折起前AD是BC边上的高， ∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB. 又DB∩DC＝D， ∴AD⊥平面BDC. ∵AD⊂平面ABD， ∴平面ABD⊥平面BDC. (2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以 ， ， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，，0)， ∴ ＝(，，－)， ＝(1,0,0)， ∴ 与 夹角的余弦值为 cos〈，〉＝＝＝. 13．【解析】 （1）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz， 则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)． 于是，， ． 设向量与平面C1DE垂直，则有 ． ∴其中z＞0． 取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量． ∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直， ∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角． ∵， ∴． （2）设EC1与FD1所成角为b，则 ． 14．【解析】 以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1，)． (1)证明：因 ＝(0,0,1)， ＝(0,1,0)，故 · ＝0，所以AP⊥DC. 由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥平面PAD. 又DC在平面PCD上，故面PAD⊥面PCD. (2)因 ＝(1,1,0)， ＝(0,2，－1)， 故| |＝，| |＝， · ＝2， 所以cos< ， >＝＝. (3)在MC上取一点N(x，y，z)，则存在λ∈R，使 ＝λ ， ＝(1－x,1－y，－z)， ＝(1,0，－)， ∴x＝1－λ，y＝1，z＝λ. 要使AN⊥MC，只需 · ＝0即x－z＝0， 解得λ＝. 可知当λ＝时，N点坐标为(，1，)， 能使 · ＝0. 此时，＝(，1，)， ＝(，－1，)， 有 · ＝0 由 · ＝0， · ＝0得AN⊥MC，BN⊥MC. 所以∠ANB为所求二面角的平面角． ∵| |＝，| |＝， · ＝－. ∴cos〈， 〉＝＝－. ∴平面AMC与平面BMC所成角的余弦值为－. 15.【解析】（1）证明：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点， ∵D为AC中点，∴PD∥B1C． 又∵PD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD ∴B1C∥平面A1BD． 解：（2）∵正三棱住ABC﹣A1B1C1， ∴AA1⊥底面ABC． 又∵BD⊥AC ∴A1D⊥BD ∴∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角． ∵AA1=，AD=AC=1 ∴tan∠A1DA= ∴∠A1DA=，即二面角A1﹣BD﹣A的大小是． （3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足． ∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC ∴BD⊥平面A1ACC1， ∵AM⊂平面A1ACC1， ∴BD⊥AM ∵A1D∩BD=D ∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角． ∵AA1=，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=， ∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=． ∴sin∠APM= ∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为．