高考冲刺 数形结合的思想 巩固练习.doc

学海在线资源中心 【巩固练习】 1．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2　　　　　　　B．3 C. D. 2．(2016 海淀模拟) 函数的零点个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　) A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 4．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－1 B．|a|≤1 C．|a|<1 D．a≥1 O x y 5. （2016 西城模拟）设函数（，，是常数，，），且函数的部分图象如图所示，则有（ ） A． B． C． D． 6．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]的图象如下图所示： 则方程f[g(x)]＝0有且仅有________个根，方程f[f(x)]＝0有且仅有________个根． 7．函数f(x)＝x3＋ax2－bx在[－1,2]上是单调减函数，则a＋b的最小值为________． 8．若方程2a＝|ax－1|(a>0，a≠1)有两个实数解，求实数a的取值范围． 9．用计算机产生随机二元数组成区域，对每个二元数组(x，y)，用计算机计算x2＋y2的值，记“(x，y)”满足x2＋y2<1为事件A，则事件A发生的概率为________． 10. 甲、乙两人相约7:00~8:00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到者等20分钟后便离去，则两人能会面的概率为 . 11.（2016 杨浦区一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为　　． 12. 求函数的值域. 13．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，求a的取值范围． 14. 函数在上恒有，求实数的取值范围. 15.（2016 凉山州模拟）设函数f（x）=x2+alnx+1（x＞0）． （1）若f（3）=5，求f（）的值； （2）若x＞0时，f（x）≥1成立，求a的取值范围． 【参考答案】 1．【答案】A 【解析】 设P到l1的距离为d1，P到l2的距离为d2，由抛物线的定义知d2＝|PF|，F(1,0)为抛物线焦点，所以d1＋d2＝d1＋|PF|.过F作FH⊥l1于H，设F到l1的距离为d3，则d1＋|PF|≥d3.当且仅当H，P，F三点共线时，d1＋d2最小，由点到直线距离公式易得d3＝＝2. 2．【答案】A 【解析】函数的零点个数即函数y=lnx与y=x-1的交点的个数，画出函数图像，可得只有一个交点，即函数的零点个数是1个，选A。 3．【答案】C 【解析】如图所示，根据直线与渐近线斜率的大小关系：，从而e≥2. 4．【答案】B 【解析】如图所示， 由图可知，当－1≤a≤1，即|a|≤1时不等式恒成立． 5. 【答案】D 【解析】设函数的最小正周期为T，由图可知 ，故T=π，，因为，故，故选D。 6． 【答案】6　5 【解析】由图可知f(x)＝0有三个根，设为x1，x2，x3，－2<x1<－1，x2＝0,1<x3<2. 令g(x)＝x1，由g(x)图象可知方程g(x)＝x1有两个根，令g(x)＝0得两个根， 令g(x)＝x3得两个根，∴f[g(x)]＝0有6个根，同理可看出f[f(x)]＝0有5个根． 7．【答案】 【解析】∵y＝f(x)在区间[－1,2]上是单调减函数，∴f′(x)＝x2＋2ax－b≤0在区间[－1,2]上恒成立． 结合二次函数的图象可知f′(－1)≤0且f′(2)≤0，即也即 作出不等式组表示的平面区域如图： 当直线z＝a＋b经过交点P(－，2)时，z＝a＋b取得最小值，且zmin＝－＋2＝.∴z＝a＋b取得最小值 【点评】由f′(x)≤0在[－1,2]上恒成立，结合二次函数图象转化为关于a，b的二元一次不等式组，再借助线性规划问题，采用图解法求a＋b的最小值． 8． 【解析】当a>1时，函数y＝|ax－1|的图象如图①所示，显然直线y＝2a与该图象只有一个交点，故a>1不合适； 当0<a<1时，函数y＝|ax－1|的图象如图②所示， 要使直线y＝2a与该图象有两个交点，则0<2a<1， 即0<a<. 综上所述，实数a的取值范围为(0，)． 9． 【答案】 【解析】本题为几何概型问题，应转化为图形的面积比求解．如图，画出不等式组，及(x，y)满足x2＋y2<1的平面区域． ∴P(A)＝ 10.【解析】在平面上建立直角坐标系，直线x=60，直线y=60,x轴，y轴围成一个正方形区域G.设甲7时x分到达会面地点，乙7时y分到达会面地点，这个结果与平面上的点（x,y）对应.于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应. 由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的， 甲乙两人能会面，当且仅当他们到达会面地点的时间相差不超 过20分钟，即 │y－x│≤20，x－20≤y≤x+20, 因此，图中的 阴影区域g就表示“甲乙能会面”.容易求得 g的面积为602－402＝2000，G的面积为3600， 由几何概型的概率计算公式，“甲乙能会面” 的概率 P(甲乙能会面)＝g的面积/G的面积＝. 【点评】解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 11.【答案】（，） 【解析】当2≤x≤3时，f（x）=（x﹣2）2+2，当3≤x≤4时，f（x）=（x﹣3）2+3，作出f（x）在[0，4]上的函数图象如图， 设y=k1x与f（x）在[2，3]上的图象相切于（x1，y1），y=k2x与f（x）在[3，4]上的图象相切于（x2，y2）， 则，，解得k1=2﹣4，k2=4﹣6． 由函数的对称性可知，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点， 则k1＜k＜k2．故答案为（，）． 12.【分析】函数均是我们不太熟悉的函数，显然y1在定义域上单调递增，y2在定义域上单调递减，而y1+y2单调性不好确定.可考虑求导（法一）和数形结合（法2）. 法一： 令，得 令y＇<0，得 又，　 法二：设， 则表示标准方程为的椭圆在第一象限的部分曲线（含端点）， 要求的是的范围，即直线个椭圆弧段有公共点时的纵截距的范围. 由图可知，最小纵截距为时的纵截距即， 当直线向上移动，纵截距y随之增大，当直线与椭圆相切时，纵截距最大. 将中，得 令 ∴最大纵截距为 综上， 13．解：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式 (x－1)2<logax恒成立， 只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可． 当0<a<1时，综合函数图象知显然不成立． 当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方， 只需f1(2)≤f2(2)， 即(2－1)2≤loga2，loga2≥1， ∴1＜a≤2. ∴a的取值范围是(1,2] 14.【解析】的图象是开口向上，但对称轴不定的抛物线，需联系图形分类讨论. （图1） （图2） （图3） （1）当即时（如图1）， 在上最小值为， 只需即可，解得a≥-7， 又∵， ∴， （2）当时，即时（如图2）， 在上最小值为， 只需，解得， 又∵，∴， (3)当即时（如图3）， 在上最小值为， 只需，解得， 又∵，∴舍去， 综上，. 15.【解析】：（1）∵f（3）=10+aln3=5，∴aln3=﹣5．∴f（）=+aln=﹣aln3==． （2）∵x2+alnx+1≥1，∴alnx≥﹣x2． ①若lnx=0，即x=1时，显然上式恒成立． ②若lnx＞0，即x＞1时，a≥﹣．令g（x）=﹣．则g′（x）=， ∴当1＜x时，g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0， ∴当x=时，g（x）取得最大值g（）=﹣2e．∴a≥﹣2e． ③若lnx＜0，即0＜x＜1时，a≤﹣，由②讨论可知g（x）在（0，1）上是增函数，且g（x）＞0，∴a≤0． 综上，a的取值范围是[﹣2e，0]．