知识讲解_三角恒等变换_基础.doc

学海在线资源中心 三角恒等变换 编稿：李霞 审稿：孙永钊 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 简单的三角 恒等变换 三角恒等变换 两角和与差的 三角函数公式 倍角公式 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式,对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R上的恒等式；公式③中 2．正向用公式,，能把和差角的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数。公式正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式： ； ； 。 要点诠释： 1．在公式中，角α没有限制，但公式中，只有当时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：； ； . 万能公式：； . 半角公式：； ； . 其中根号的符号由所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2kπ+π(k∈Z) 正切还有另外两个半角公式：，这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。 考点四、三角形内角定理的变形 由，知可得出： ，. 而，有：，. 【典型例题】 类型一：正用公式 例1．（2016 全国新课标Ⅱ）若，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】因为，所以，即，即. 【点评】例1是对公式的正用． 举一反三： 【变式1】已知，，则 . 【答案】. 【变式2】已知，则 . 【答案】 【变式3】已知和是方程的两个根，求的值. 【答案】 【解析】由韦达定理，得， ， ∴ . 【高清课堂：三角恒等变换397881 例1】 【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1) (2) (3) (4) (5) Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下 Ⅱ.证明: 例2(2015 源汇区校级一模)设，，且，，则 . 【思路点拨】注意到，将，看做一个整体运用公式. 【答案】 【解析】且， 且， 【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有，,,, 等. 2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 举一反三： 【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值. 【答案】 【解析】由且是第二象限角，得， ∵， ∴. 【变式2】函数的最大值为（ ） A． B．　 C． D． 【答案】C； 【解析】∵， . 所以其最大值为2，故选C. 【变式3】(2015 河南模拟)若，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 故选A. 【变式4】已知，，，，求的值。 【答案】 【解析】∵ ， ∴， ∵ ， ∴。 ∴ 类型二：逆用公式 例3.求值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式. 【解析】 （1）原式=； （2）原式； （3）原式； （4）原式 . 【点评】 ①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。 ②辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定. 举一反三： 【变式1】化简. 【答案】 【变式2】已知，那么的值为（ ） A． B．　 C． D． 【答案】A； 【解析】∵， ∴. 例4. 求值： （1）；（2） 【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值. 【解析】 （1）原式=； （2）原式= 【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是p。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。 举一反三： 【变式】求值： （1）；（2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）原式= = = （2） 类型三：变用公式 例5．求值： （1）；（2） 【思路点拨】通过正切公式，注意到与之间的联系. 【解析】 （1）， 原式. （2）， ， . 【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出与三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：，. 举一反三： 【变式1】求值：= ． 【答案】1 【变式2】在中，,，试判断的形状. 【答案】等腰三角形 【解析】由已知得,, 即，， ，， 又,故, 故是顶角为的等腰三角形. 类型四：三角函数式的化简与求值 例6. 化简： （1）；(2） 【思路点拨】（1）中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；（2）中有平方，而且角度之间也有关系，，所以要用二倍角公式降次. 【解析】 （1）原式 = （2）原式= 【点评】 ①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。 ②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，. 举一反三： 【变式1】化简： （1）；（2）； （3） 【答案】 （1）原式=； （2）原式=； （3）原式= =. 【变式2】若，且，则___________. 【答案】由，，得， . 例7．已知，，且，求的值. 【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值. 【解析】， 而，故， 又，，故， 从而， 而，，而， ， 又， 【点评】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，，，这些都要予以注意. 举一反三： 【变式1】已知，为锐角，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【变式2】已知，，求。 【解析】∵， ， 解得, ， ∴.