知识讲解_导数的综合应用题（基础）（文）.doc

学海在线资源中心 《导数及其应用》全章复习与巩固 编稿：李 霞 审稿： 张林娟 【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题. 2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题. 3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题. 4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【要点梳理】 要点一：有关切线问题 直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上； ③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释： 通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组. 要点二：有关函数单调性的问题 设函数在区间（a，b）内可导， （1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数； （2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数； （3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数. 要点诠释： （1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则. （2）或恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：或. ② 若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使. （或是求含参函数 的最大值 ，使） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域 ②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点. 注意：无定义的点不用在表中列出 ③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内所有使的的点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值. 要点诠释： ①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可. ②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题 在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题. 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤： (1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式； (2) 求函数的导数，解方程； (3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释： ①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 建立数学模型 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 ②得出变量之间的关系后，必须由实际意义确定自变量的取值范围； ③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值． ④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 【典型例题】 类型一： 利用导数解决有关切线问题 例1. 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 【思路点拨】因为点A不在曲线上，所以应先设出切点并求出切点． 【解析】曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 【总结升华】此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值. 举一反三： 【变式1】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________. 【答案】 【变式2】求过点且与曲线相切的直线方程． 【答案】设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 类型二： 利用导数解决有关函数单调性、极值最值的问题 例2. 设函数，求的单调区间和极值. 【思路点拨】求导后，求导数为零的根，两根大小的判断是确定分类点的依据. 【解析】 令得 即，解得或， （1）当时，，在上单调递减，没有极值； （2）当时，由得，由得或， ∴当或时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴，， ∴的递减区间为，；递增区间为； ，. （3）当时，由得，由得或， ∴当或时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴，， ∴的递减区间为，；递增区间为； ，. 【总结升华】 （1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，须分类讨论. （2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域. 举一反三： 【变式1】求函数的单调区间. 【答案】 令得： （1）当或时， ， 所以，； （2）当或时， 所以， ∴的单调增区间是，单调减区间是，. 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题4】 【变式2】 已知函数f(x)=ax3+x2+1，x∈(0，1] （1）若f(x)在（0，1）上是增函数，求实数a的取值范围； （2）求f(x)在（0，1）上的最大值. 【答案】 （1）f′(x)=3ax2+2x， ∵f(x)在（0，1）上是增函数， ∴ x∈（0，1）时，f′(x)=3ax2+2x>0恒成立， 即对x∈（0，1）恒成立， ∵在（0，1）上单调增， ∴x=1时， ∴ （2） ① ② ∴ ∴ 例3.已知函数在处取得极值为， （1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值． 【解析】（1）因 故 由于 在点 处取得极值 故有即 ， 解得. （2）由（1）知 ，， 令 ，得 当时，故在上为增函数； 当 时， 故在 上为减函数； 当 时 ，故在 上为增函数. 由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值, 由题设条件知 得， 此时，, 因此 上的最小值为. 举一反三： 【变式1】设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） 【答案】C 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】 【变式2】函数的图象大致是（ ） A B C D 【答案】C 首先易判断函数为奇函数，排除A，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B、D,故选C. 例4.设函数（），其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值. 【解析】（Ⅰ）当时，，得，且 ，． 所以，曲线在点处的切线方程是，整理得 ． （Ⅱ） ． 令，解得或． 由于，以下分两种情况讨论． （1）若，当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且； 函数在处取得极大值，且． （2）若，当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且； 函数在处取得极大值，且． 【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法. 2. 列表能比较清楚的看清极值点. 3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚. 举一反三： 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题2】 【变式1】设函数则 ( ) A.在区间内均有零点. B.在区间内均无零点. C.在区间内有零点，在区间内无零点. D.在区间内无零点，在区间内有零点. 【答案】D 由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D. 【变式2】 已知函数(x>0)在x = 1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数. （1）试确定a,b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间. 【答案】（1）由题意知，因此，从而． 又对求导得 ． 由题意，因此，解得． （2）由（I）知（），令，解得． 当时，，此时为减函数； 当时，，此时为增函数． 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为. 类型三： 利用导数解决优化问题 例5. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 【解析】：每月生产x吨时的利润为 故它就是最大值点，且最大值为： 每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 【总结升华】利用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点. 举一反三： 【变式】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=） 【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为，则 ． ，令，得x=15． 当x＞>15时，，当10≤x＜15时，． 因此，当x=15时，取得最小值． 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．