正交分解法整体法和隔离法 知识讲解 提高 .doc

学海在线资源中心 物理总复习：正交分解法、整体法和隔离法 编稿：李传安 审稿：张金虎 【考纲要求】 1、理解牛顿第二定律，并会解决应用问题； 2、掌握应用整体法与隔离法解决牛顿第二定律问题的基本方法； 3、掌握应用正交分解法解决牛顿第二定律问题的基本方法； 4、掌握应用合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法。 【考点梳理】 要点一、整体法与隔离法 1、连接体：由两个或两个以上的物体组成的物体系统称为连接体。 　　2、隔离体：把某个物体从系统中单独“隔离”出来，作为研究对象进行分析的方法叫做隔离法（称为“隔离审查对象”）。 　　3、整体法：把相互作用的多个物体视为一个系统、整体进行分析研究的方法称为整体法。 要点诠释： 处理连接体问题通常是整体法与隔离法配合使用。作为连接体的整体，一般都是运动整体的加速度相同，可以由整体求解出加速度，然后应用于隔离后的每一部分；或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体。处理连接体问题的关键是整体法与隔离法的配合使用。隔离法和整体法是互相依存、互相补充的，两种方法互相配合交替使用，常能更有效地解决有关连接体问题。 要点二、正交分解法 当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题，多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，有： 　　 （沿加速度方向） (垂直于加速度方向） 特殊情况下分解加速度比分解力更简单。 要点诠释：正确画出受力图；建立直角坐标系，特别要注意把力或加速度分解在x轴和y轴上；分别沿x轴方向和y轴方向应用牛顿第二定律列出方程。一般沿x轴方向（加速度方向）列出合外力等于的方程，沿y轴方向求出支持力，再列出的方程，联立解这三个方程求出加速度。 要点三、合成法 若物体只受两个力作用而产生加速度时，这是二力不平衡问题，通常应用合成法求解。要点诠释：根据牛顿第二定律，利用平行四边形法则求出的两个力的合外力方向就是加速度方向。特别是两个力相互垂直或相等时，应用力的合成法比较简单。 【典型例题】 类型一、整体法和隔离法在牛顿第二定律中的应用 【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例4】 例1、（2014 河北衡水中学模拟）在水平地面上放一木板B，重力为100N，再在木板上放一货箱A，重力为500N，设货箱与木板、木板与地面间的动摩擦因数μ均为0.5，先用绳子把货箱与墙拉紧，如图示，已知sinθ＝3/5，cos θ=3/5，然后在木板B上施一水平力F。 要想把木板从货箱下抽出来，F至少应为多大？ 【答案】850N 【解析】分别对物体A、B或AB整体：受力分析，如图所示，由受力平衡知： 对A：T cos θ–f1=0 N1–G1–Tsinθ 又f1=μN1 联立得到：T cos θ=μ（G1+T sin θ） 即 f1= T cos θ N1= G1+T sin θ 对B：F–f1′–f2=0 N2–N1′–G2=0 又f2=μN2 联立得到：F=f1+μ（N1+G2） 解得：F=850N （或者采用先整体后隔离） 本题考查受力平衡的问题，分别以两个物体为研究对象，分析受力情况，建立直角坐标系后分解不在坐标轴上的力，列平衡式可得答案 举一反三 【变式1】如图所示，两个质量相同的物体A和B紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如果它们分别受到水平推力和，且，则A施于B的作用力的大小为（　 ） 　　A． 　　　　 B． 　　C．　　　　D． 【答案】 C 【解析】设两物体的质量均为m，这两物体在和的作用下，具有相同的加速度为，方向与相同。物体A和B之间存在着一对作用力和反作用力，设A施于B的作用力为N（方向与方向相同）。用隔离法分析物体B在水平方向受力N和，根据牛顿第二定律有 故选项C正确。 【变式2】 如图所示,光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用可伸长的轻绳相连,木块间的最大静摩擦力是，现用水平拉力F拉其中一个质量为2m的木块，使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对m的最大拉力为 ( ) A. B.  C. D.  【答案】 B 【解析】 以四个木块为研究对象,由牛顿第二定律得 绳的拉力最大时,m与2m间的摩擦力刚好为最大静摩擦力, 以2m(右边的)为研究对象, 则 , 对m有 ,联立以上三式得 B正确。 例2、质量为M的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间t内前进的距离为s。耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为F，受到地面的阻力为自重的k倍，所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角θ保持不变。求： （1）拖拉机的加速度大小。 （2）拖拉机对连接杆的拉力大小。 （3）时间t内拖拉机对耙做的功。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）拖拉机在时间t内匀加速前进s，根据位移公式 ① 变形得 ② （2）要求拖拉机对连接杆的拉力，必须隔离拖拉机，对拖拉机进行受力分析， 拖拉机受到牵引力、支持力、重力、地面阻力和连杆拉力T， 根据牛顿第二定律 ③ 联立②③变形得 ④ 根据牛顿第三定律连杆对耙的反作用力为 ⑤ 拖拉机对耙做的功： ⑥ 联立④⑤解得 ⑦ 【总结升华】本题不需要用整体法求解，但在求拖拉机对连接杆的拉力时，必须将拖拉机与耙隔离开来，先求出耙对连杆的拉力，再根据牛顿第三定律说明拖拉机对连接杆的拉力。 类型二、正交分解在牛顿二定律中应用 物体在受到三个或三个以上不同方向的力的作用时，一般都要用正交分解法，在建立直角坐标系时，不管选哪个方向为x轴的正方向，所得的结果都是一样的，但在选坐标系时，为使解题方便，应使尽量多的力在坐标轴上，以减少矢量个数的分解。 例3、（2015 全国Ⅱ卷）下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。某地有一倾角为θ=37°（sin37°=3/5）的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均处于静止状态，如图所示。假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ1减小为3/8，B、C间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第2s末，B的上表面突然变为光滑，μ2保持不变。已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l=27m，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度大小g=10m/s2。求： （1）在0~2s时间内A和B加速度的大小 （2）A在B上总的运动时间 【答案】（1）a1=3m/s2； a2 =1m/s2；（2）4s 【解析】(1)在0~2s时间内，A和B的受力如图所示，其中f1、N1是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，f2、N2是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示。 由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得 f1=μ1N1 ⑴ N1=mgcosθ ⑵ f2=μ2N2 ⑶ N2=N1+mgcosθ ⑷ 规定沿斜面向下为正方向。设A和B的加速度分别为a1和a2，由牛顿第二定律得 mgsinθ–f1=ma1 ⑸ mgsinθ–f2+ f1=ma2 ⑹ 联立以上各式可得: a1=3m/s2 ⑺ a2=1m/s2 ⑻ (2)在t1=2s时，设A和B的速度分别为v1和v2，则 v1=a1t1=6m/s ⑼ v2=a2t2=2m/s ⑽ t＞t1时，设A和B的加速度分别为a1′和a2′。此时A与B之间的摩擦力为零，同理可得 a1′=6m/s2 ⑾ a2′=–2m/s2 ⑿ 即B做减速运动。设经过时间t2，B的速度减为零，则有 v2+a2′t2=0 ⒀ 联立⑽⑿⒀式得 t2=1s ⒁ 在t1+t2时间内，A相对于B运动的距离为 ⒂ 此后B静止不动，A继续在B上滑动。设再经过时间t3后A离开B，则有 ⒃ 可得 t3=1s(另一解不合题意，舍去) ⒄ 设A再B上总的运动时间为t总，有 t总=t2+t2+t3=4s ⒅ (利用下面的速度图线求解，正确的，参考上述答案及评分参考给分) 举一反三 【变式1】质量为m的物体放在倾角为的斜面上，物体和斜面的动摩擦因数为，如沿水平方向加一个力F，使物体沿斜面向上以加速度做匀加速直线运动（如图所示），则F为多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【解析】本题将力沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解，分别利用两个方向的合力与加速度的关系列方程。 （1）受力分析：物体受四个力作用：推力F、重力mg、支持力，摩擦力。 （2）建立坐标：以加速度方向即沿斜向上为x轴正向，分解F和mg（如图所示）： （3）建立方程并求解 x方向： y方向： 三式联立求解得 【变式2】如图(a)质量m＝1kg的物体沿倾角q＝37°的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v成正比，比例系数用k表示，物体加速度a与风速v的关系如图(b)所示。求： （1）物体与斜面间的动摩擦因数m； （2）比例系数k。 (，） 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）对初始时刻： 由图读出 代入式， 解得：； （2）对末时刻加速度为零： 又 由图得出此时 代入式解得： k＝＝0.84kg/s。 分解加速度： 分解加速度而不分解力，此种方法一般是在以某种力或合力的方向为x轴正向时，其它力都落在两坐标轴上而不需再分解。 例4、如图所示，电梯与水平面间夹角为，当电梯加速向上运动时，人对梯面的压力是其重力的6/5，人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？ 　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【解析】对人受力分析：重力，支持力，摩擦力（摩擦力方向一定与接触面平行，由加速度的方向推知水平向右）。 　　建立直角坐标系：取水平向右（即F的方向） 为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向（如图）， 此时只需分解加速度， 其中 （如图所示） 根据牛顿第二定律有 x方向： 　　　 ① y方向： 　 ② 又　 　③ 解①②③得 。 【总结升华】应用分解加速度这种方法时，要注意其它力都落在两坐标轴上而不需再分解，如果还有其它力需要分解，应用分解加速度方法就没有意义了。 例5、某科研单位设计了一空间飞行器，飞行器从地面起飞时，发动机提供的动力方向与水平方向夹角，使飞行器恰沿与水平方向成角的直线斜向右上方匀加速飞行。经时间后，将动力的方向沿逆时针旋转60°同时适当调节其大小，使飞行器依然可以沿原方向匀减速飞行，飞行器所受空气阻力不计。求：(1) 时刻飞行器的速率； (2)整个过程中飞行器离地的最大高度。 【答案】(1) (2) 【解析】 （1）沿运动方向和垂直运动方向建立坐标系 沿运动方向： （1） 垂直运动方向： （2） 解（1）（2）得 时刻飞行器的速度 得 （2）逆转后 垂直运动方向： （3） 沿运动方向： （4） 求得 经过时间 速度减为零 求得 离地最大高度： 用合成法（平行四边形定则）求解： 图形如图所示，解析略。 类型三、合成法在牛顿第二定律中的应用 例6、如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速在动摩擦因数为μ的水平地面上做匀减速运动，不计其它外力及空气阻力，则其中一个质量为m的土豆A受其它土豆对它的总作用力大小应是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对箱子和土豆整体分析，设质量为M 箱子在水平面上向右做匀减速运动，加速度方向向左，其中一个 质量为m的土豆，合力大小为，方向水平向左，一个土豆受重力， 把其它土豆对它的总作用力看成一个力F，二力不平衡，根据合成法原理， 作出力的平行四边形，可知F是直角三角形的斜边， 所以C正确。 【总结升华】这是一个典型的物体只受两个力作用且二力不平衡问题，用合成法解题，把力学问题转化为三角、几何关系问题，很简捷。 举一反三 【变式】 如图所示，一箱苹果沿着倾角为θ的光滑斜面加速下滑，在箱子正中央夹有一只质量为m的苹果，它受到周围苹果对它作用力的方向是（ ） A．沿斜面向上 　　 B．沿斜面向下 C．垂直斜面向上 　　 D．竖直向上 【答案】 C 作出力的平行四边形分析F的方向， 垂直斜面向上。 【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例3】 A 30o a 例7、如图所示，质量为0.2kg的小球A用细绳悬挂于车顶板的O点，当小车在外力作用下沿倾角为30°的斜面向上做匀加速直线运动时，球A的悬线恰好与竖直方向成30°夹角。g = 10m/s2，求： （1）小车沿斜面向上运动的加速度多大？ （2）悬线对球A的拉力是多大？ （3）若以（1）问中的加速度向下匀加速，则细绳与竖直方向夹角θ＝？ 【答案】（1） （2） （3）600； 【解析】解法一：用正交分解法求解 （1）（2）A受两个力：重力mg、绳子的拉力T，根据牛顿第二定律列出方程 沿斜面方向： （1） 垂直于斜面方向： （2） 解得 ， 解法二：用合成法求解 小球只受两个力作用且二力不平衡，满足合成法的条件。拉力与 竖直方向成角，合力方向沿斜面与水平面夹角也为角，合力大小为，如图，三角形为等腰三角形，所以：， 。 由几何关系得拉力 （3）用合成法求解 小车匀加速向下运动，小球向上摆动，设细线与竖直方向夹角 为,竖直向下的重力加速度为g,沿斜面向下的加速度为 g,从图中几何关系可看出二者的夹角为,则细线的 方向与它二者构成一个等边三角形,即细线与竖直方向夹角。 【总结升华】物体只受两个力作用且二力不平衡问题往往已知合力方向，关键是正确做出力的平行四边形。 【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例2】 例8、如图所示，一质量为0.2kg的小球用细绳吊在倾角为θ=53o的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦。求下列几种情况下下，绳对球的拉力T： （1）斜面以的加速度水平向右做加速运动； （2）斜面以的加速度水平向右做加速运动； （3）斜面以的加速度水平向右做减速运动； 【答案】（1）（2） （3） 【解析】斜面由静止向右加速运动过程中，当较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当增大时，斜面对小球的支持力将会减小，当增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。 设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图所示。 代入数据解得： （1）斜面以的加速度水平向右做加速运动，，小球没有离开斜面， 小球受力：重力，支持力,绳拉力,进行正交分解， 水平方向： 竖直方向： 解得； （2）因为，所以小球已离开斜面，斜面的支持力， 由受力分析可知，细绳的拉力为 (图中) 此时细绳拉力与水平方向的夹角为 （3）斜面以10m/s2的加速度水平向右做减速运动,加速度方向向左，与向左加速运动一样，当加速度达到某一临界值时，绳子的拉力为零，作出力的平行四边形，合力向左，重力竖直向下， 为绳子拉力为零的临界加速度 ，所以绳子有拉力。 小球受力：重力，支持力,绳拉力,进行正交分解， 水平方向： 竖直方向： 解得。 解法二：采用分解加速度的方式 方向： 所以 在针对两个未知力垂直时比较简捷，细节是对加速度要进行分解。 【总结升华】这是一道很难的例题，涉及到应用牛顿第二定律解决临界问题，临界条件要判断正确。熟练应用正交分解，对只有两个力，二力不平衡时应用平行四边形定则求解较简捷，在针对两个未知力垂直时采用分解加速度的方式求解比较简捷，简化了运算，解题速度快。