知识梳理_平面向量的数量积及应用_基础.doc

学海在线资源中心 平面向量的数量积及应用 编稿：李霞 审稿：孙永钊 【考纲要求】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】 平面向量数量积及应用 平面向量的数量积 平面向量的应用 平面向量的坐标运算 【考点梳理】 考点一、向量的数量积 1. 定义： 已知两个非零向量和，它们的夹角为q，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释： （1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 . （2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0°≤q≤180°.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 q是哪个角. 2. 平面向量的数量积的几何意义 我们规定叫做向量在方向上的投影，当q为锐角时，为正值；当q为钝角时，为负值；当q=0°时，；当q=90°时，；当q=180°时，. 的几何意义：数量积等于的长度与 在方向上的投影的乘积. 要点诠释： 在方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0. 3. 性质： （1） (2) 当与同向时，；当与反向时，. 特别地 (3) (4) 4. 运算律 设已知向量、、和实数，则向量的数量积满足下列运算律： (1) (交换律) (2) (3) 要点诠释： ①当时，由不一定能推出，这是因为对任何一个与垂直的向量，都有；当时，也不一定能推出，因为由，得，即与垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律. ②对于实数，有，但对于向量来说，不一定相等，这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线，所以与不一定相等. 5. 向量的数量积的坐标运算 ①已知两个非零向量，，那么； ②若，则； ③若，则，这就是平面内两点间的距离公式； ④若，则 6. 重要不等式 若，则 考点二、向量的应用 （1）向量在几何中的应用 ①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件； （） ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件； ③求夹角问题； 利用夹角公式：. 平面向量的夹角 ④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模 或. （2）向量在物理中的应用 ①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； ②向量在速度的分解与合成中的应用. 【典型例题】 类型一、数量积的概念 例1．已知，，分别满足下列条件，求与. (1) ； (2)； (3)夹角为 【解析】 (1) 当时，分两种情况： ①若同向，则， ∴。 ②若反向，则， ∴。 (2)当时，， ∴。 (3)当的夹角为时， . 【总结升华】仍旧是一个向量，它们的模根据公式即为自身数量积的平方根. 数量积运算是沟通向量与数量的桥梁. 举一反三： 【变式1】已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ． 【答案】0； 【解析】. 【变式2】已知向量与的夹角为120°，，则________ 【答案】7 【解析】 , ∴. 【变式3】两个非零向量、互相垂直，给出下列各式：①；②；③；④；⑤. 其中正确的式子有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知与长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在时，与才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B. 例2.（2016 北京高考）已知向量 ，则与夹角的大小为_________. 【答案】30° 【解析】（Ⅰ）， 所以，，， 根据数量积公式，得 故与夹角的大小为30°。 【总结升华】考查平面向量数量的角度问题，注意运用数量积的运算性质及夹角的范围，公式合理的选用有助于分析解决问题. 举一反三： 【变式1】若向量满足，与的夹角为，则（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2 【答案】B； 【解析】，，故。 【变式2】若，，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ 　）。 A. 　　B.（2，+¥） C. D. 【答案】A； 【解析】∵与的夹角为钝角， ∴且与不能反向，即且 故 【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例1】 【变式3】若，，，且，则向量与的夹角为（ ） （A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500 【答案】C 例3.若、、均为单位向量，且，的最大值为________ 【答案】 【解析】因为、、均为单位向量，且， 设=（1，0），=（0，1），, , 故的最大值为. 【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意本题是转换为代数运算求最值问题. 举一反三： 【变式】已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】， ， ， ，的最大值为.故选C. 类型二、数量积的综合应用 例4. （2015•淮北二模）在平面直角坐标系中，已知A（ cosx，1），B（l，﹣sinx），X∈ R， （Ⅰ）求|AB|的最小值； （Ⅱ）设，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象求函数g（x）的对称中心． 【解析】（Ⅰ）|AB|=== ∴|AB|的最小值为=﹣1； （Ⅱ）=cosx﹣sinx=cos（x+）， 将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）=cos（x+）， 令x+=kπ+，可得x=2kπ+， ∴函数g（x）的对称中心为（2kπ+，0）（k∈ Z）． 【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力. 举一反三： 【变式1】（2015•浦东新区一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，∠A的平分线为AD，若 （1）当m=2时，求cosA的值； （2）当时，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意得，=（+）； 故•（+）=2•； 故2=3•； 故cosA==； （2）•=||•||cosA =； 故m==+ =+ =+； ∵，∴（）2∈（1，）； 故1＜＜； 在＜+＜2． 【变式2】平面上O，A，B三点不共线，设，，则△OAB的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ∵， ∴， ∴，故选C.