巩固练习_直线、平面垂直的性质_提高.doc

学海在线资源中心 【巩固练习】 1．下列说法中正确的是（ ） ①过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直． A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．②③④ 2．设a、b是异面直线，下列命题中正确的是（ ） A．过不在a、b上的一点P一定可作一条直线和a、b都相交 B．过不在a、b上的一点P一定可作一个平面和a、b都垂直 C．过a一定可作一个平面与b垂直 D．过a一定可作一个平面与b平行 3．已知平面、、，则下列命题中正确的是（ ） A．，，则 B．，，则 C．，，，则a⊥b D．，，a⊥b，则b⊥ 4．给出下列四个命题： ①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内． 其中正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．②③④ D．④ 5．（2015年 安徽合肥一模）如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（ ） A．过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点 B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点 C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点 D．过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD 6．以等腰直角△ABC斜边BC上的高为棱，把它折成直二面角，则此时两条直角边的夹角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．（2016 甘肃天水期末）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A＇—BCD，使平面A＇BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（ ） A．A＇C⊥BD B．∠BA＇C=90° C．CA＇与平面A＇BD所成的角为30° D．四面体A＇—BCD的体积为 8．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面与不垂直． 其中，为真命题的是（ ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 9．平面平面，且，则和的位置关系是 ． 10．在空间四边形中，、都是边长为1的正三角形，且平面平面．为空间各边上的中点，则四边形的面积是 ． 11．（2015春 上海期中）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=________． 12．如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是________． 13．（2016 陕西模拟）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． （1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF． 14．如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一动点． （1）求证：BD⊥FG； （2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由． （3）如果PA=AB=2，求三棱锥B—CDF的体积． 【答案与解析】 1．【答案】A 【解析】 过直线a外一点P可作一平面与直线a垂直，平面内所有过P的直线均与垂直，从而④不正确． 2．【答案】D 【解析】 A不正确，若点P和直线a确定平面，当b∥时，满足条件的直线不存在；C不正确，只有a、b垂直时才能作出满足条件的平面． 3．【答案】B 【解析】 如图，A中，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1D1， 平面AA1D1D⊥平面A1B1C1D1，而平面AA1B1B与平面A1D1D相交． C中，平面AA1B1B∩平面AB1D1=D1B1， 平面AA1D1D∩平面AB1D1=AD1， 平面AA1B1B⊥平面AA1D1D， 而AB1与AD1不垂直； D中，b不定在平面β内． 4．【答案】D 【解析】 过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若，，则或，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对． 5．【分析】设AC∩BD=O，由ABCD是正方形，得O是AC中点，从而OM∥PC，由此得到M是PA中点；设N为PB的中点，连结AN，则AN与PB不一定垂直，从而得到N不一定是PB中点；由已知得PA=AC，PD=DC，从而H为PC的中点；由AD∥BC，得到l∥AD∥BC． 【答案】B 【解析】设AC∩BD=O，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点， ∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点，∴OM∥PC， ∴M是PA中点，故A正确； 设N为PB的中点，连接AN， ∵PA与AB不一定相等，∴AN与PB不一定垂直， ∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N不一定是PB的中点，故B错误； ∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD， ∴PA=AC，PD=DC， ∴过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点，故C正确； ∵AD∥BC，平面PAD与平面PCB有公共点P， ∴l∥AD∥BC，故D正确． 故选：B． 6．【答案】C 【解析】 如图，由题可知CD=BD=AD，∠BDC=90°，则 ，所以∠ABC=60°． 7．【答案】B 【解析】若A成立可得BD⊥A＇D，产生矛盾，故A不正确； 由题设知：△BA＇D为等腰Rt△，CD⊥平面A＇BD，得BA＇⊥平面A＇CD，于是B正确； 由CA＇与平面A＇BD所成的角为∠CA＇D=45°知C不正确； ，D不正确． 故选B． 8．【答案】D 【解析】 ①没有强调一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所以①错；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②正确；③垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③错；④根据两个平面垂直的性质定理易知④正确．故选D． 9．【答案】 【解析】设，，，，又，． 10．【答案】 【解析】画出空间四边形，由题意知，四边形是矩形，其中一边长是，一边长是，所以矩形的面积是． 11．【分析】设AB=AC=1，则，由已知条件推导出△ABC是正三角形，由此能求出结果． 【答案】60° 【解析】设AB=AC=1，则， ∵BD⊥平面ADC，CD平面ADC， ∴BD⊥CD， ∵△BDC是等腰直角三角形， ∴， ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC=60°． 故答案为：60°． 12．【答案】 【解析】如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK， ∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB， ∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF． ∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK． 容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点． 所以t的取值范围是． 13．【解析】（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行． ∵△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点． ∴EF∥PC，又EF不包含于平面PAC， 而PC平面PAC，∴EF∥平面PAC （2）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD， ∴EB⊥PA， 又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB， ∴EB⊥平面PAB，又AF平面PAB， ∴AF⊥BE， 又PA=PB=1，点F是PB的中点， ∴AF⊥PB， 又∵PB∩BE=B，PB，BEPBE， ∴AF⊥平面PBE． ∵PE平面PBE，∴AF⊥PE． ∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF． 14．【分析】（1）由已知条件，利用直线垂直于平面的判定定理，先推导出BD⊥平面APC，由此能够证明BD⊥FG． （2）当G为EC中点时，FG∥平面PBD．根据题设条件，利用直线与平面平行的判定定理进行证明． （3）三棱锥B—CDF的体积等于三棱锥F—BCD的体积，利用等积法能求出结果． 【答案】（1）略（2）略（3） 【证明】（1）证明：∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形， 其对角线BD、AC交于点E， ∴PA⊥BD，AC⊥BD． ∴BD⊥平面APC， ∵FG平面PAC，∴BD⊥FG （2）当G为EC中点，即时，FG∥平面PBD． 理由如下： 连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE 而FG平面PBD，PB平面PBD， 故FG∥平面PBD． （3）连结FE，FD， ∵F是PC中点，E是正方形ABCD对角线的交点， ∴FE∥PA，且， ∵PD⊥面ABCD，∴FE⊥面BCD， ∵， ∴三棱锥B—CDF的体积．