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学海在线资源中心 圆的方程 【考纲要求】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程， 2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径； 4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【知识网络】 圆的方程 圆的一般方程 简单应用 圆的标准方程 点与圆的关系 【考点梳理】 【高清课堂：圆的方程405440 知识要点】 考点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径. 要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是. 有关图形特征与方程的转化： 圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：； 圆与x轴相切时：； 与坐标轴相切时：； 过原点：. (2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 考点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)若点在圆上 (2)若点在圆外 (3)若点在圆内 考点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 要点诠释：由方程得 (1)当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 考点四：几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 要点诠释： 圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程一般方程. 【典型例题】 类型一：圆的标准方程 例1.求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2)已知圆经过两点，圆心在轴上，则的方程是 ； (3)经过点，圆心在点 【思路点拨】 解析：(1) (2)线段的中垂线方程为，与轴的交点即为圆心的坐标，所以半径为 ，所以圆的方程为. (3)解法一：∵圆的半径，圆心在点 ∴圆的方程是 解法二：∵圆心在点，故设圆的方程为 又∵点在圆上，∴，∴ ∴所求圆的方程是. 总结升华：一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径. 举一反三： 【变式1】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 解析：依题意，设圆心坐标为，其中，则有，由此解得，因此所求圆的方程是，选A. 类型二：圆的一般方程 例2．(1)求经过点、,且圆心在直线上的圆的方程； (2)求以、、为顶点的三角形的外接圆的方程 【思路点拨】选用恰当的方程形式用待定系数法求出，或数形结合，利用圆的垂径定理：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解决。 解析： (1)方法一：待定系数法 设圆心,则有, 解得，∴圆心，半径, ∴所求圆的方程为。 方法二：数形结合 由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上即直线上 由得， ∴圆心，半径 ∴所求圆的方程为。 (2) 方法一：待定系数法 设圆的方程为, 将三个已知点的坐标代入列方程组解得：， 解方程组得：, , ， 故圆的方程为，即 方法二：数形结合 由图形知：三角形是以为斜边的直角三角形， 故圆心为的中点，直径， 故圆的方程为：。 总结升华：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点： （1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程； （2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得、、或、、； （3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数 举一反三： 【变式1】求过直线和圆的交点,且面积最小的圆的方程。 【答案】：解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆， 于是解方程组得交点,, 以为直径的圆的方程: 。 解法二: (运用曲线系方程) 设过直线与圆的交点的圆的方程为 , 配方得 要使圆面积最小，必须半径最小， 由于（当且仅当时，最小） 故所求圆的方程是 【变式2】根据下列条件分别写出圆的方程： (1)以A(4，9)、B(6，3)所连线段为直径； (2)圆过点(0，0)和(1，2)，圆心在直线上； (3)圆过三个点(2，2)，(5，3)，(6，0)； (4)圆过点P(3，2)，圆心在直线，且与交于Q(3，6)； (5)与圆同圆心，且面积等于圆C面积的一半. 【思路点拨】[1]充分利用平面几何知识(圆的性质)；[2]选择适当形式的圆方程. 解析：(1)显然AB中点C(5，6)为圆心. ∴ 圆方程为：； (2)设圆心为M(a，b)，∴ [1]， 又圆过点(0，0)和(1，2)， ∴ [2]，联立[1][2]解得， 所求圆的方程为：； (3)设圆的方程为：，解得： ∴ 所求圆方程为：； (4)∵ 圆过点P、Q，∴ 圆心为M(a，b)在PQ的中垂线y=4上， ∴ ∴ ∴ ∴ 所求圆方程； (5)圆心为(1，0)，半径为， 由已知，所求圆半径为所求圆的方程为：. 【变式3】方程表示圆，则a的取值范围是 A．或 B． C． D． 解析：D 解析：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为，所以若方程表示圆，则有，∴ ，∴ ． 总结升华：此题考查的为将圆的一般方程转化为标准方程的能力. 类型三：点与圆的位置关系 例3.(2015 滑县校级模拟)如果直线与圆有两个不同的交点,那么点和圆C的位置关系是( ) A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.不能确定 【思路点拨】求点与圆之间的距离是关键. 【答案】A 【解析】直线与圆有两个不同的交点 圆心到直线的距离 点在圆C的外部.故选Ａ． 总结升华：判断点与圆的位置关系就是判断点到圆心的距离与半径的大小关系. 举一反三： 【变式】(2015 赤峰模拟)如果直线2ax-by+14=0(a>0,b>0)和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当即时函数的图象恒过定点 又直线2ax-by+14=0过定点 ， ① 又定点在圆的内部或圆上， ② 由①②得 故选C. 类型四：与圆有关的轨迹问题 【高清课堂：圆的方程405440 典型例题六】 例4.已知点，点P是圆上的动点，求线段中点M的轨迹方程. 【思路点拨】本题关键是找出点M与点P之间的联系（实际是坐标间的关系）． 解析：设，，则，所以 又因为点在圆上，所以 即，整理得 所以线段中点M的轨迹方程为. . 例5.已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心） （I）求圆的方程； （II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值． 【解析】：（I）解法一：设两点坐标分别为，， 由题设知，解得， 所以，或，， 设圆心的坐标为，则， 所以圆的方程为． 解法二：设两点坐标分别为，， 由题设知， 又因为，，可得，即． 由，，可知， 故两点关于轴对称，所以圆心在轴上． 设点的坐标为，则点坐标为， 于是有，解得， 所以圆的方程为． （II）设，则 ． 在中，， 由圆的几何性质得，， 所以，由此可得． 则的最大值为，最小值为． 举一反三： 【变式1】等腰△ABC的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【思路点拨】可以判断出C的轨迹以A为圆心，半径为|AB|的圆.利用直接法求出方程. 解析：由题意得|CA|=|AB|，则点C到定点A的距离等于定长|AB|， 所以C的轨迹是圆. 又， C的轨迹方程为[除去点(-1，15)和点(1，-3)]， 即C的轨迹形状是以点A(0，6)为圆心，半径为的圆，其中去除点(-1，15)和点(1，-3). 【变式2】如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． （1）求BC边所在直线方程； （2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程； （3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 解析： （1）∵ ，AB⊥BC，∴ ， ∴ BC边所在直线方程为． （2）在上式中，令y=0，得C（4，0）， ∴ 圆心M（1，0）． 又∵ |AM|=3， ∴ 外接圆的方程为． （3）∵ P（-1，0），M（1，0），圆N过点P（-1，0）， ∴ PN是该圆的半径． 又∵ 动圆N与圆M内切， ∴ |MN|=3-|PN|，即|MN|+|PN|=3， ∴ 点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆， ∴ ，，， ∴ 轨迹方程为．