巩固练习_导数的综合应用题（基础）（文）.doc

学海在线资源中心 【巩固练习】 一、选择题 1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(　　) A．等于0　　　　　　　 B．大于0 C．小于0 D．以上都有可能 2． 若曲线在点处的切线方程是，则( ) A B C D 3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(　　) A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19 4．已知f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则其切线方程有(　　) A．1个　　 　 B．2个 C．多于两个 D．不能确定 5．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 7．曲线上的点到直线的距离的最小值为( ) A. 　 B. 　　 C. 　 D. 二、填空题 8．函数的极值点是 ____________。 9．函数的单调递增区间为 。 10．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为_ _____． 11. 函数（）的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围 。 三、解答题 12．设函数在处取得极值 (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求的单调区间. 13.设函数，，求函数的单调区间与极值。 14.已知函数图象上的点处的切线方程为. ⑴若函数在处有极值，求的表达式； ⑵若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 15．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间及极值； (2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. 【答案与解析】 1.【答案】　A 【解析】　∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数 ∴f′(x)＝0，故应选A. 2. 【答案】A： 【解析】 ∵ ，∴ ，在切线，∴ 3. 【答案】　C 【解析】　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)， 令f′(x)＝0，得x1＝－1或x2＝1， f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，f(1)＝－1， ∴f(x)在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17. 4. 【答案】　B 【解析】　∵f(x)＝x3，∴f′(x)＝3x2， 令3x2＝1，得x＝， 即切点坐标为或. 由点斜式可得切线方程为y－＝x－或y＋＝x＋，即y＝x－ 或y＝x＋.故应选B. 5. 【答案】D 【解析】　f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x) 在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b 都是正实数，所以ab≤＝＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号． 6. 【答案】　C 【解析】　∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)， 令y′＝0，解得x＝9，所以x∈(0,9)时，y′>0， x∈(9，＋∞)时，y′<0，y先增后减． ∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题． 7．【答案】D； 【解析】设曲线在点的切线平行于直线， ∵, ∴,， 故所求最小值就是点到直线的距离 8．【答案】x=3和x=1 【解析】直接求导，然后求根可得。 9．【答案】； 【解析】， 因为，所以由得，解得。 10.【答案】和。 【解析】设切点为，， 由，得 把，代入到得； 把，代入到得， 所以和。 11．【答案】； 【解析】， 因为，所以极大值为，极小值， 解得。 12．【解析】（Ⅰ）,由已知得， 解得， (Ⅱ)由（Ⅰ）知 当或时，，当时，. 因此的单调增区间是，， 的单调减区间是. 13. 【解析】 14. 【解析】 ⑴∵点在切线方程上，∴ ，， ∵函数在处有极值，∴ ，可得： ∴ ⑵由⑴可知：，∴，∴ ∵函数在区间上单调递增，即：在区间上恒成立， ∴，解得：。 15. 【解析】　 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 2(1－ln2＋a) 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)， f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)． (2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.