专题15 基本不等式（检测）-2019年高考数学25个必考点（解析版）.doc

一、基础过关题 1.（2018高考天津卷）已知a，，且，则的最小值为______． 【答案】 化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可． 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值考查计算能力． 2．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a＋b≥2 B.＋≥2 C．|＋|≥2 D．a2＋b2>2ab 【答案】　C 【解析】　因为和同号，所以|＋|＝||＋||≥2. 3．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg(x2＋)>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 【答案】　C 【解析】　当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg(x2＋)≥lg x(x>0)， 故选项A不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定， 故选项B不正确；学&科网 由基本不等式可知，选项C正确； 当x＝0时，有＝1，故选项D不正确． 4．当x>0时，函数f(x)＝有(　　) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 【答案】　B 【解析】　f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝1时取等号． 5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 【答案】　C[来源:学+科+网] 6．(2016·平顶山至阳中学期中)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 【答案】　C 【解析】　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C. 7．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为(　　) A. B．2 C. D．2 【答案】　D 8．(2016·潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则的取值范围是________． 【答案】　(0，＋∞) 【解析】　∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切， ∴d＝＝， ∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1， ∴＝＝ ＝(b＋1)＋－4≥2－4＝0. 又∵a，b为正实数，∴的取值范围是(0，＋∞)． 9．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________． 【答案】　4 【解析】　由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，[来源:Z#xx#k.Com] ∴a＋b＝1，∵a>0，b>0， ∴＋＝(a＋b) ＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当a＝b＝时，等号成立．学*科网 10（2018高考江苏卷）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为______． 【答案】9 根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键． 11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； (2)求＋的最小值． 【答案】(1)最大值为1；(2) ＋的最小值为. 【解析】(1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. ∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10， 当且仅当2x＝5y时，等号成立． 因此有解得 此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0， ∴＋＝·＝≥＝， 当且仅当＝时，等号成立． 由解得 ∴＋的最小值为.学科*网 12．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|. (1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值． 【答案】(1) W(t)＝； (2) 所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443， 所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元． 二、能力提高题 1.(2016·吉林九校第二次联考)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是(　　) A．1 B．6 C．9 D．16 【答案】　B 【解析】　∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，[来源:学科网ZXXK] 所以＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6， 当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立， 所以最小值为6.故选B. 2．(2016·唐山一模)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．[来源:学科网] 【答案】　[4,12] 3.(2017·东莞调研)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________． 【答案】　8 【解析】　y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)， 由A在直线mx＋ny＋1＝0上． 则－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.[来源:Z,xx,k.Com] ∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8 (当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立)． 4.如图所示，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 【答案】(1) 最大射程为10 km；(2) a不超过6 km时，可击中目标． (2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0， 使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ⇔Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔0<a≤6. 所以当a不超过6 km时，可击中目标．学科%网 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！