专题25 表面积与体积（检测）-2019年高考数学25个必考点（解析版）.doc

一、基础过关题 1.（2018高考天津卷）已知正方体的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，如图，则四棱锥的体积为______． 【答案】 求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可． 本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 2.（2018高考江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为______． 【答案】 【解析】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：， 八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1， 多面体的中心为顶点的多面体的体积为：． 故答案为：．学#科网 求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可． 本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 3.（2018高考全国卷I）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为　　 A. B. C. D. 【答案】A 利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，然后求解截此正方体所得截面面积的最大值． 本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度． 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A．4＋ B．4＋ C．4＋ D．4＋π[来源:学&科&网] 【答案】　C 【解析】　由题意可知，几何体的体积为圆柱的体积加长方体的体积再减去与长方体等高的圆柱的体积的， 即π·12·3＋2·2·1－π·12·1＝4＋.学%科网 5．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为(　　) A. B. C. D．(4＋π) 【答案】　B 6．(2015·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A. B. C. D．2π 【答案】　C 【解析】　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C. 7．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　) A．1＋ B．2＋ C．1＋2 D．2 【答案】　 B 8．(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是(　　) A.π B．6π C.π D.π 【答案】　C 【解析】　该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V＝×π×4×1＋××π×4×2＝π. 故选C.[来源:学科网] 9．(2016·福建三明一中第二次月考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　) A. B. C．2 D．1 【答案】　A 10.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为________． [来源:学|科|网] 【答案】　π 【解析】　由题意，图中弧为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为∠A1AE＝∠BAF＝，所以∠EAF＝，由弧长公式知弧的长为2×＝.弧为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d＝，球的半径R＝2，所以小圆的半径r＝＝1，又∠GBF＝，所以弧的长为1×＝.故两段弧长之和为.学&科网 11．(2016·新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________． 【答案】　7π 【解析】　(图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝.同理BE＝.取AB的中点为F，连接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF的中点为O，连接OA，则OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.∵OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是，∴外接球的表面积是7π. 12．(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. (1)证明：平面AEC⊥平面BED；[来源:学*科*网] (2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积． [来源:学_科_网Z_X_X_K] 二、能力提高题 1. (2016·三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.则三棱锥P－ABC体积的最大值为________． 【答案】　 【解析】　VP－ABC＝PO·S△ABC，当△ABC的面积最大时，三棱锥P－ABC体积达到最大值．当CO⊥AB时，△ABC的面积最大，最大值为×2×1＝1，此时VP－ABC＝PO·S△ABC＝.学*科网 2．(2016·浙江)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________． 【答案】　 3.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝. (1)求证：DE⊥平面ADC； (2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的【解析】式及最大值． 【答案】：(1)见解析；(2) V(x)＝x·(0<x<2)，最大值. (2)解　∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC. 在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝. 在Rt△ABC中，∵AC＝x，BC＝(0<x<2)， ∴S△ABC＝AC·BC＝x·， ∴V(x)＝VE－ABC＝x·(0<x<2)． ∵x2(4－x2)≤()2＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，取等号， ∴x＝时，体积有最大值. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！