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学海在线资源中心 【巩固练习】 一、 选择题 1．一个椭圆的半焦距为2，离心率，那么它的短轴长是（ ） A．3 B． C． D．6 2．已知点（3，2）在椭圆＋=1上，则（ ） A.点（－3，－2）不在椭圆上 B.点（3，－2）不在椭圆上 C.点（－3，2）在椭圆上 D.无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上 3．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ） A．（0，5） B．（0，1） C．[1，5] D．[1，5） 4．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是（ ） A.=1 B.=1 C. =1或=1 D.=1或=1 5. （2015 兴国一模）椭圆与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6.(2015 湖北校级模拟)已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7．椭圆的离心率为，则m=________. 8．若圆x2+y2=a2（a＞0）与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________. 9. 若过椭圆内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______________． 10. （2016　　山西模拟）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，Q为椭圆C上的一点，且△QF1O（O为坐标原点）为正三角形，若射线QF1，QO与椭圆分别相交于点P，R，则△QF1O与△QPR的面积的比值为________． 三、解答题 11．已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。 12.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程. 13. 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直经y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P. (1)求椭圆C的方程； (2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标． 14．（2015 新课标Ⅱ文））已知椭圆的离心率为,点在C上. （I）求C的方程； （II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值. 15．已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最大值和最小值． １６．(２０１６　北京理)已知椭圆的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1． (1)求椭圆C的方程； (2)设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与轴交于点N． 求证：|AM|·|BM|为定值． 【答案与解析】 1．答案：C 解析： ∵c=2，，∴a=3 ∴b2=a2―c2=9―4=5，∴， ∴短轴长为。 2．答案： C 解析 ：∵点（3，2）在椭圆＋=1上， ∴＋=1,∴=1. 即点(±3,±2)在椭圆＋=1上. 3．答案：D 解析： 直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，∴，得m≥1，∴m的取值范围是1≤m＜5。 4．答案：D 解析：由cosOFA=，知A是短轴的端点.∵长轴长是26，∴|FA|=13即a=13.∴=，c=5，b2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为=1或=1. 5. 答案：A 解析：联立椭圆方程与直线方程，得 A（x1,y1）,B(x2,y2), AB中点坐标：，AB中点与原点连线的斜率 故选A。 6．答案： A 解析： 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点，设左焦点为N，则连接AF,AN,BN,BF,所以四边形AFNB为长方形。由椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a,∠ABF=α,则∠ANF=α.所以2a=2ccosα+2csinα,利用， 所以，则： 所以椭圆离心率e的取值范围为，故选A. 7．答案：3或 解析：方程中4和m哪个大哪个就是a2，因此要讨论： （1）若0＜m＜4则a2=4，b2=m， ∴，∴，得m=3。 （2）m＞4，则b2=4，a2=m，∴， ∴，得。 综上，m=3或。 8．答案：[2，3] 解析：根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为[2，3] 9. 答案：　x＋2y－4＝0 解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，， ∴所求直线方程为y－1＝－ (x－2)， 即x＋2y－4＝0. 10．答案：　 解析：设F1（－c，0），F2（c，0），△QF1O为正三角形， 可设，可得， 由|OQ|=|OF1|=|OF2|=c，可得△QF1F2是直角三角形， 由椭圆的定义可得， 即有， 则椭圆C的方程为， 由QF1的方程，代入椭圆方程消x化简可得， ， 解得或， 则△QF1O的面积为， △QPR的面积为， 即有△QF1O与△QPR的面积的比值为。 故答案为：。 11. 解析：若椭圆的焦点在x轴上， 设椭圆的标准方程为， 由题意得，解得。 ∴椭圆的标准方程为。 若椭圆的焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为.同理可求椭圆的方程为 12．解析∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-. 又e==，∴a=2.故b=1. ∴椭圆的方程为+x2=1. 13.解析：(1)∵且c＝，∴a＝，b＝1. ∴椭圆c的方程为. (2)由题意知点P(0，t)(－1<t<1)， 由得 ∴圆P的半径为， 又∵圆P与x轴相切， ∴，解得， 故P点坐标为. 14． 解析：（Ⅰ）由题意有，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为. （Ⅱ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）， 把y=kx+b代入得(2k2+1)x2+4kbx+2b2－8=0. 故，于是直线OM的斜率，即 ，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值. 15.解析：由，得a＝5，b＝3，c＝4. 所以点A(4,0)为椭圆一个焦点，记另一个焦点为F(－4,0)． 又因为|MA|＋|MF|＝2a＝10， 所以|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|， 又|BF|＝2， 所以－2＝－|FB|≤|MB|－|MF|≤|FB|＝2. 所以10－2≤|MA|＋|MB|≤10＋2. 当F、B、M三点共线时等号成立．所以|MA|＋|MB|的最大值为10＋2，最小值为10－2. １６．(1)由题意得解得a＝2，b＝1． 所以椭圆C的方程为． (2)由(Ⅰ)知，A(2，0)，B(0，1)， 设P(x0，y0)，则． 当x0≠0时，直线PA的方程为． 令x＝0，得．从而． 直线PB的方程为． 令y＝0，得．从而． 所以 ． 当x0＝0时，y0＝-1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4． 综上，|AN|·|BM|为定值．