2002_20201123144041.doc

2002年全国初中数学竞赛试题 一、选择题 1．设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则的值为【 】 A、 B、 C、2 D、3 2．已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为【 】 A、0 B、1 C、2 D、3 3．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于【 】 A、 B、 C、 D、 4．设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值【 】 A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0 5．设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是【 】 A、＜a＜ B、a＞ C、a＜ D、＜a＜0 6．A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于【 】 A、 B、 C、 D、a＋b 二、填空题 7．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。 8．已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则的值为 。 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。 10．如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。 11．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有 个。 12．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。 三、解答题 13．某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？ 14．如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。(1)求证：（2）求证： 16．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？ 2002年全国初中数学竞赛试题 一、 选择题（每小题5分，共30分） 1. 设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则的值为（ ）。 A、 B、 C、2 D、3 答案：A.由题意: >0，且= = =3。 2. 已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为( )。 A、0 B、1 C、2 D、3 答案：原式= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= [1+1+4]=3。 3. 如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于( )。 A、 B、 C、 D、 答案：设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点， 所以SΔGCF=SΔGBF，设为x；SΔGAE=SΔGBE，设为y。则 ,得2x+2y= . 所以S四边形AGCD= .从而S四边形AGCD∶S矩形ABCD=2∶3. 4. 设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值( )。 A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0 答案：由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+-3>0,所以x、y、z中至少有一 个大于0. 5. 设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是( )。 A、＜a＜ B、a＞ C、a＜ D、＜a＜0 答案：由题知:(x1-1)(x2-1)<0, 即x1x2-(x1+x2)+1<0,代入韦达定理并整理得<0,可知选(A). 6. A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于( )。 A、 B、 C、 D、a＋b 答案：.延长A1A2和A5A4相交于P,连结A2A4.易证:ΔPA1A5和ΔPA2A4均为正Δ,且PA2=A2A4=A1A3=b。所以A1A5=PA1=a+b. 二、 填空题（每小题5分，共30分） 7. 设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。 答案：由Δ=(a-2)2+4>0知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18≤- . 8. 已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则的值为 。 答案：由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c和b-c是方程 t(t-d)-2=0(即t2-dt-2=0)的两实根.所以(a-c)(b-c)= -2<0.而a<b,即a-c<b-c.所以a-c<0,b-c>0.所以原式=b-a. 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。 答案：易证:ΔPAB∽ΔBCP,所以= ,得PB=4 10. 如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。 答案：设⊙O3的半径为x,则O1O3= +x，O1O= ,O3O= - x. 所以( +x)2=( )2+（ - x）2,解得x= ,易得菱形O1O3O2O4的面积为 a2. 11. 满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有 个。 答案：由题设得n2-n-1=±1,有5个根:0,1,-1,2.和-2 12. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。 答案：设成本为a,则a(1+p%)(1-d%)=a,得d=. 三、 解答题（每小题20分，共60分） 13. 某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？ 答案：设单独完成,甲、乙、丙各需a、b、c天.则 解得a=4, b=6, c=10（c>7,舍去). 又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x、y、z(元),则 解得x=45500, y=29500, 所以甲4天完成的总费用为182000元, 乙6天完成的总费用为177000元, 所以由乙承包. 14. 如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。 (1)求证：（2）求证： 答案：(1)易证∠3=∠4,所以∠AEC=∠DEQ,而∠ACE=∠2, 所以ΔACE∽ΔQDE.可得结论成立. (2)分析:易证∠6=∠4,所以FC∥ED,所以 = 所以只需证 = , 由(1)有 = 。 所以只需证= ,即QD2=CQ×EQ. 这只需证ΔCQD∽ΔEQD. 而由题设有∠7=∠3+∠5=∠4+∠5, 由(1)有∠9=∠EAC,而∠EAC=∠8==∠QCD, 所以可证得ΔCQD∽ΔEQD. 15. 如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？ 答案：(1)由题设知,可分别令x=0、-1、1，得 则有c=m2,2a=n2+k2,2b=n2-k2均为整数. (其中m、n、k为整数) (2)假设2b为奇数2t+1(t为整数). 取x=4得 16a+4b+m2=h2(h为整数). 因 2a为整数,从而16a可被4整除. 所以16a+4b=16a+4t+2 除以4余2. 所以16a+4b为偶数. ① 又因为 16a+4b=(h+m)(h-m). 若h、m的奇偶性不同,则16a+4b=(h+m)(h-m)为奇数,这与①矛盾. 若h、m的奇偶性相同,则16a+4b=(h+m)(h-m)能被4整除,从而2b为偶数,这与假设矛盾. 所以假设不成立,即2b应为偶数,从而b为整数. 所以a=k2+b-c为整数. 反之,若a、b、c都是整数,且c是平方数,则对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值不一定是平方数.例如:取a=b=x=c=1,则ax2+bx+c=3,不是平方数. 11