初中数学竞赛精品标准教程及练习62：绝对值.doc

初中数学竞赛精品标准教程及练习（62） 绝对值 一、内容提要 1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下： 0 2 X<0 0<x<2 x>2 2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法.　例如： （1）化简 解：当x=0,　x=2时,　=0； 当x<0或x>2时,　=x(x－2)=x2－2x； 当0<x<2时，=－x(x－2)=－x2+x. （2）解方程=6. 解：当x<0时，x=－2； 当0≤x≤2时，方程无解； 当x>2时，x=4. ∴原方程的解是：x=－2， x=4.. （3）作函数y=的图象. 解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)； y=2 (0≤x≤2) ； y=2x－2 (x>2). 　　分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=的图象. 3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离. 用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法. 例如：　①解方程；　②解不等式；　③解不等式. 解：①∵的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3，　 ∴方程的解是x=3, x=－3. ②∵的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式的解集是　－3＜x＜3. ③∵的零点是x=－2, ∴的几何意义是：x是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数， ∴的解集是x<－5或x>1.（如下图） 1 -2 0 --5 4. 绝对值的简单性质：　 ①绝对值是非负数；　②两个互为相反数，它们的绝对值相等. 根据这些性质，可简化函数的作图步骤.　例如： （1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x轴向上翻折 作函数图象：①y= 　　　　　　　　 ②y= （2） 当f（－x）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象. 例如：y=x2－2－3的图象， 可先作y=x2+2x－3自变量x<0时的图象（左半图） 再画右半图（与左半图关于纵轴对称）. （3） 把y=的图象向上平移个单位，所得图象解析式是y=； 　　　把y=的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=. （4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便. 二、例题 例1. 已知方程＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值. 解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, 　x=, 　　∴ a+1>0. 　　　　∴a>－1； 　　　当x>0时，原方程为x=ax+1,　　　x=, 　∴1－a>0. 　　　　　∴a<1. ∵方程有一个负根并且没有正根， ∴a>－1且a≮1， ∴a的取值范围是a≥1. 例2. 求函数y=2的最小、最大值. 解：当x<0时，　y=－x+6； 当0≤x<3时，y=－3x+6； 当x≥3时，　y=x－6 . 根据图象有最低点而没有最高点 ∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时). 例3.　解方程：①；　　　②. 解：①∵点（x）到点A（－2）和点B（4）的距离相等（如下图）， 　∴x=1. ②∵点（x）到点A（－1）与到点B（2）的距离的和等于4，＝3 ∴x=2.5, 　x=-1.5. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例4. 解不等式: ①1≤≤3；　　　②. 解：①点（x）到点A（－2）的距离大于或等于1而小于或等于3 　　　　在数轴上表示如图， ∴不等式的解集是：　－5≤x≤－3　或－1≤x≤1 ②点(x) 到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上. 在数轴上表示，如图： ∴不等式的解集是x>1. 例5. 　a取什么值时，方程 有三个整数解？ 解：化去绝对值符号，得=±a, =1±a , x－2=±(1±a)， ∴x=2±(1±a) . 当a=1时，x恰好是三个解4，2，0. 　　用图象解答更直观； （1）先作函数 y= 图象， （2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y= 图象相交， 恰好是三个交点时，y=1, 即a=1. 本题若改为： 有四个解，则0<a<1； 两个解，则 a=0 或a>1； 一个解，则a不存在； 无解，则a<0. 三、练习62 1.　方程=4的解是＿＿＿＿＿＿＿. 2.　方程=0的解是________. 3.　方程=3的解是________. 4.　方程=5的解是＿＿＿＿＿＿＿. 5.　不等式2≤≤5的解集是___________________.　 6.　不等式<5的解集是_______________________.　 7.　不等式<3的解集是_______________________.　 8.　不等式的解集是_______________________.　 9.　已知3-x,　那么 _______________.　 10.　关于x的方程=ax+2有根且只有负根，求a取值范围. 　 11.　a取什么值时，方程无解？有解？有最多解？ 12.　作函数y=的图象；并求在－3≤x≤3中函数的最大、最小值.　 13.　解方程.　 14. 作函数y=的图象. 15. 选择题： 　　　①.对于实数x ，不等式1≤｜x－2｜≤7等价于（　　） （A）　x≤1或x≥3　　　　　（B）1≤x≤3　　　　　　（C）－5≤x≤0　 （D）－5≤x≤1或3≤x≤9　　（E）－6≤x≤1或3≤x≤10 　　　②不等式｜x－1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（　　） 　　　（A）　　 (B) 　　(C) 　(D) 　 (E) φ（空集） 练习62参考答案： 1. －7，1. .2. –2. 　3. –1≤x≤2. 　　4. –1，4. 　　5.－2≤x≤0，　5≤x≤8 　 6. –2<x<3　　　7.空集.　 　　 8. 0<x< 　　　 9.当x<1时，原式=1；当1≤x≤3时，原式=2x－1. 10.仿例1.　 　11.仿例5 　 12. 函数的最大值是11，最小值是5.　 13. 1≤x≤5. 15.(D),(A). 6