初中数学竞赛精品标准教程及练习42：型如 的证明.doc

初中数学竞赛精品标准教程及练习(42) 型如的证明 一、内容提要 型如的证明,通常是证明它的等价命题 第一种 转化为线段的比例式 （1） 可证　和两个同分母的分式分别相等，例如 　当m+n=p　时等式成立 （2）可证明　c,a,b－c,b 四条线段成比例，关鍵是作出b－c的差 （3）可证明　a+b,a,b,c四条线段成比例，关鍵是作出a+b的和 第二种　　转化为线段的乘积式 bc+ac=ab(4) (4) 常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积 二、例题 例1. 已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，O是AC和BD的交点，OE∥AB交BC于有E 求证： 分析： 证明，分别和，相等即可（下略） 例2. 已知：在△ABC中，∠ACB＝120，CD是角平分线 求证： 分析一： 延长AC到E，使CE＝CB，可证△BCE为等边，BE∥CD 分析二：＝ 在CB上截取CE＝CD， 可证△CDE为等边三角形，DE∥CA 分析三：CA×CD＋CB×CD＝CA×CB 可由S△CAD＋S△CBD＝S△CAB证得 证明：∵S△CAD＋S△CBD＝S△CAB ∴CA×CDSin∠ACD＋CB×CDSin∠BCD=CA;x CBSin∠ACB ∵Sin120=Sin60, 　∴CA×CD＋CB×CD＝CA×CB ∴ 例3. 已知：△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶4 求证： 分析： 在AC上取CD＝BC，证明　即可，要创造相似三角形，作角平分线CE，连结DE，得△ACE∽△ABC，再证CE＝DE＝AD 证明：在AC上取CD＝BC，作角平分线CE，连结DE 显然△CDE≌△CBE，∠DCE＝∠BCE＝2α ∠CDE＝∠B＝2α， ∵∠A＝α，∴∠DEA＝α ∴CE＝ED＝DA ∵△ACE∽△ABC， ∴，, , , 　　 1 － ∴ 例4. 已知：点C和点D分别内分、外分线段AB为同一个比 　　　　　即AC∶CB＝AD∶DB＝κ（称C，D调和分割AB） 　求证： 分析：　　 ＝κ （证明步骤是分析的倒逆） 例5. 如图已知：△ABC中，BC＝a,高AD＝h,内接正方形EFGH边长为m 　求证： 分析：hm+am=ah,　可用面积公式证 证明：∵S△AEF＋S梯形EFGH＝S△ABC ∴ 即　m(h-m)+(m+a)m=ah, mh+ma=ah 　两边除以ahm,　得 三、练习42 1. 四边形ABCD中，∠A＝∠C＝Rt∠，P是BD上的一点，PM⊥AB， PN⊥CD，M，N是垂足，求证： 2. △ABC中，CD是角平分线，DE∥BC交AC于E，则 3. 经过平行四边形ABCD的顶点D的一直线交BC于M，交AB的延长线于N，求证 4. 已知：△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC 求证：（1∶S△BAE）＋（1∶S△BEC）＝1∶S△BED 5. △ABC中，∠C＝60，角平分线CD＝t,　求证 6. △ABC内一点P，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，D，E，F是垂足，设a,b,c　边上的高分别为ha,hb,hc求证 7. 已知2a=7b=14c 　求证　 8. 已知：直线y=bx+c　(b ≠0),　与抛物线y=ax2（a≠0）　有两个交点，与横轴有一个交点，它们的横坐标分别为x1,x2,x3　且b2-4ac>0 求证： 9. Rt△ABC斜边上的高CD＝h，那么 10. 过△ABC内一点P分别作三边的平行线DE∥BC，FG∥AB，HK∥AC 求证：① 　　　　　② 11.　在等边△ABC外接圆的弧上取点P PA交BC于M，求证 12. PA，PB切⊙O于A，B，直线PO交⊙O于M，N，交AB于C 求证 13. 已知半径分别为R，r　的⊙O和⊙O1外切于P，点P到外公切线AB的距离为d,　则 　 练习42参考答案： 4.利用等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比 1. S△ABC＝abSinC 2. 连结PA，PB，PC由…… 8. x1,x2是方程bx+c=ax2　的两个根，由韦达定理得 且x3是bx+c=0的根…… 9.　射影定理　11.用S△PBM＋S△PCM＝S△PBC 12.　AM，AN是△PAC的内，外角的平分线。 4