初中数学竞赛精品标准教程及练习22：分式.doc

初中数学竞赛精品标准教程及练习（22） 分式 一、内容提要 1． 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。 (1)分式中，当B≠0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。 (2)若A、B及都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。 (3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。 2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。 二、例题 例1．x取什么值时，分式的值是零？是正数？是负数？ 3 0 -1 -2 解： ＝ 以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图） 当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零； 当x<－2, －1<x<0, x>3时，分式的值是正数（∵负因数的个数是偶数） 当－2<x<－1, 0<x<3时，分式的值是负数（∵负因数的个数是奇数） 例2．m取什么值时，分式的值是正整数？ 解：＝＝2＋ 当例3．计算＋－－ ＞－2且m－1是9的约数时，分式的值是正整数 即m－1＝1，3，9，－9　　解得m=2,4,10,－8。　　答：（略） 解：用带余除法得，原式＝1＋＋1＋－1－－1－ ＝＋ ＝＋＝ 4．已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5　　求①a∶b∶c ② 解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加 得2（a+b+c）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式 得a=2k, b=k, c=3k ∴①a∶b∶c =2∶1∶3 ②＝＝ 例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？ 解：设这个两位数为10x+y，那么0＜x≤9,　　0≤y≤9 　＝1＋ 当x取最小值1，y取最大值9时，分式的值最小；当x取最大值9，y取最小值0时，分式的值最大。 答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。 三、练习22 1． a=___时，分式的值是0 2． 已知则分式＝＿＿＿＿ 3． 若x和分式都是整数，那么x=_______________ 4． 直接写出结果: ① x=(x+)-______ ②(x2++2)÷（x+=____ ③ （x2-）÷（x+）=__＿＿　④（1＋（1－＝＿＿＿＿ 5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。 6．x取什么值时分式的值是零？是正数？是负数？ 7．计算：①＋　② 　③ 8．解方程： 　　 ⑶（其中 9．已知xy∶yz∶zx=3∶2∶1, 求①x∶y∶z　　②　　∶ 10．已知a≠b≠c且　　　求证：ax+by+cz=0 11.已知：　　求：（x+y）∶z的值 12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？ 13．在保证分母不等于0的前提下，分式中的x不论取什么值分式的值都不变，问a和b之间的关糸应满足什么条件？ 14.　已知　求证：（a2+b2+c2）(m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2 练习22参考答案： 1.　－2　　2.　－1　　3.　2，0，6，－4 4.　①1＋　　 ②　x+　　 ③－2　　 ④－3（x+） ⑤1＋　　⑥－（x+） 5. x=－1，－2，－1.5时没有意义 6. 仿例1，四个零点－3，－1，2，3把实数分为五个区间 7. ①　　②　　　③　　　　 8. ①x=－7　②x＝－1　　9.①3∶6∶2　②0.25 10.设各比的比值为k 11. 2或－1　　 12.　10.5（x=1,y=8,z=9） 13. 5a=3b 14. 设比的比值为k,分别证明左，右两边都等于k2(m2+n2+p2)2 4