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第八章《二元一次方程组》精练精析 提要：本章的考查重点是二元一次方程组的解法——代入法、加减法，以及列出二元一次方程组解简单应用题．难点是熟练地解二元一次方程组，解决难点的办法关键在于了解消元的思想方法，设法消去方程中的一个未知数，把“二元”变成“一元”（对于“三元”一次方程组，一般也要先消去一个未知数，变成“二元”，再变成“一元”）．正确地列出二元一次方程组解简单应用题，关键在于正确地找出应用题中的两个条件（相等关系），并把它们表示成两个方程，这两个方程正好表示了应用题的全部含义． 习题： 一、填空题 1．一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是         ． 2．已知甲、乙两人从相距36km的两地同时相向而行，1.8h相遇．如果甲比乙先走h，那么在乙出发后h与甲相遇．设甲、乙两人速度分别为xkm/h、ykm/h，则x＝       ，y＝       ． 3．甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数是                    ． 4．一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，全队一天就超额30件；若平均每人一天做4件，全队一天就比定额少完成20件．若设这队工人有x人，全队每天的数额为y件，则依题意可得方程组                   ． 5．某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分；不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了          ． 6．一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米．则轮船在静水中的速度为 ______，水流速度为______． 7．一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件． 则这队工人有_____人，全队每天制造的工件数额为_____件． 8．若，则． 9．小红有5分和2分的硬币共20枚，共6角7分，设5分硬币有枚，2分硬币有 枚，则可列方程组为 ． 10．小强拿了十元钱去商场购买笔和圆规．售货员告诉他：这10元钱可以买一个圆规和三支笔或买两个圆规和一支笔，现在小强只想买一个圆规和一支笔，那么售货员应该找给他______元． 11．已知二元一次方程＝0，用含y 的代数式表示x，则x＝_________；当y＝－2时，x＝___ ____． 12．在（1），（2），（3）这三组数值中，_____是方程组x－3y＝9的解，______是方程2 x＋y＝4的解，______是方程组的解． 13．已知，是方程x＋2 my＋7＝0的解，则m＝_______． 14．若方程组的解是，则a＝_ _，b＝ _ ． 15．已知等式y＝kx＋b，当x＝2时，y＝－2；当x＝－时，y＝3，则k＝____，b＝____． 16．若|3a＋4b－c|＋（c－2 b）2＝0，则a∶b∶c＝_________． 17．当m＝_______时，方程x＋2y＝2，2x＋y＝7，mx－y＝0有公共解． 18．一个三位数，若百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数是百位与十位上的数的差的2倍，则这个三位数是_______________． 二、选择题 19．已知方程组 其中正确的说法是（　　） A．只有（1）、（3）是二元一次方程组 B．只有（1）、（4）是二元一次方程组 C．只有（2）、（3）是二元一次方程组 D．只有（2）不是二元一次方程组 20．已知下列方程组：（1），（2），（3），（4）， 其中属于二元一次方程组的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．已知2 xb＋5y3a与－4 x2ay2－4b是同类项，则ba的值为（ ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 22．已知方程组的解是，那么m、n 的值为（ ） A． B． C． D． 23．三元一次方程组的解是（ ） A． B． C． D． 24．若方程组的解x、y 的值相等，则a 的值为（ ） A．－4 B．4 C．2 D．1 25．方程组的解是（ ） A． B． C． D． 26．若实数满足（x＋y＋2）(x＋y－1)=0，则x＋y的值为（ ） A．1 B．－2 C． 2或－1 D．－2或1 27．在一次小组竞赛中，遇到了这样的情况：如果每组7人，就会余3人；如果每组8人，就会少5人．问竞赛人数和小组的组数各是多少？若设人数为x，组数为y，根据题意，可列方程组（　　）． 28．若关于x、y的方程组的解满足方程2x＋3y＝6，那么k的值为（ ） A．－ B． C．－ D．－ 29．若方程y＝kx＋b当x 与y 互为相反数时，b 比k 少1，且x＝，则k、b的值分别是（ ） A．2，1 B．， C．－2，1 D．，－ 30．某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x 人，分成y 个小组，则可得方程组（ ） A． B．C． D． 三、解答题 31．若是关于x，y的二元一次方程3x-y+a=0的一个解，求a的值． 32．解关于x，y的方程组，并求当解满足方程4x－3y＝21时的k值． 33．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度． 34．甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，你能求出原来的两个加数吗？ 35．小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知小丽的结果是，你能由此求出原来的方程组吗？ 36．一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？ 37．师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”．问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？ 38．有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积． 39．在汶川大地震之后，全国各地区都有不少热心人参与抗震救灾行动中去，家住成都的小李也参加了，他要在规定的时间内由成都赶往绵阳地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达绵阳地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达． 40．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元．若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？ 41．《参考消息》报道，巴西医生马廷恩经过10年研究得出结论：卷入腐败行列的人容易得癌症，心肌梗塞，脑溢血，心脏病等病，如果将贪污受贿的580名官员和600名廉洁官员进行比较，可发现，后者的健康人数比前者的健康人数多272人，两者患病或患病致死者共444人，试问贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分之几？ 42．某校2009年初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2010年秋季初一年级招生人数增加20％，高一年级招生人数增加25％，这样2010年秋季初一年级、高一年级招生总数比2006年将增加21％，求2010年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少？ 43．某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩．游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？ 44．随着奥运会成功召开，福娃系列商品也随之热销．一天小林在商场看到一件奥运吉祥物的纪念品，标价为每件３３元，他的身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，他买了一件这种商品． 若无需找零钱，则小林付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？ 参考解析 一、填空题  1． 52   2． ９，１１   3． 甲跑6米，乙跑4米          5． 19道题 6．18千米/时，2千米/时．   7． 25，155．          8. -3； 9. 10． 4． 11．x＝；x＝（点拨：把y 作为已知数，求解x） 12（1），（2）；（1），（3）；（1）（点拨：将三组数值分别代入方程、方程组进行检验．方程组的解一定是方程组中各个方程共同的解） 13．－（点拨：把代入方程，求m） 14．a＝－5，b＝3（点拨：将代入中，原方程组转化为关于a、b 的二元一次方程组，再解之） 15．k＝－2，b＝2（点拨：把x、y 的对应值代入，得关于k、b 的二元一次方程组。通过建立方程组求解待定系数，是常用的方法） 16．a＝－b，c＝2b；a∶b∶c＝－2∶3∶6（点拨：由非负数的性质，得3 a＋4 b－c＝0，且c－2b＝0．再用含b 的代数式表示a、c，从而求出a、b、c 的值。用一个未知数的代数式表示其余的未知数，是一种常用的有效方法） 17．答案，m＝－（点拨：先解方程组，将求得的x、y 的值代入方程mx－y＝0，或解方程组。“公共解”是建立方程组的依据） 18．答案100 x＋10 y＋2（x－y）（点拨：将各数位上的数乘相应的位数，再求和） 二、选择题 19． D（点拨：二元一次方程组是由两个以上一次方程组成并且只含有两个未知数的方程组，所以其中方程可以是一元一次方程，并且方程组中方程的个数可以超过两个．本题中的（1）、（3）、（4）都是二元一次方程组，只有（2）不是．所以选D） 20．B（点拨：方程组（2）中含有三个未知数，方程组（3）中y 的次数都不是1，故（2）、（3）都不是二元一次方程组） 21．C（点拨：由同类项定义，得，解得，所以ba＝（－1）2＝1） 22．D（点拨：将代入方程组，得关于m、n 的二元一次方程组解之） 23．A（点拨：把三个方程的两边分别相加，得x＋y＋z＝6或将选项逐一代入方程组验证，由x＋y＝1知B．、D．均错误；再由y＋z＝5，排除C．，故A．正确，前一种解法称之直接法；后一种解法称之逆推验证法。 点评：由于数学选择题多为单选题——有且只有一个正确答案，因而它比一般题多一个已知条件：选择题中有且只有一个是正确的．故解选择题除了直接法以外，还有很多特殊的解法，随着学习的深入，我们将逐一向同学们介绍） 24．C（点拨：把x＝y 代入4x＋3y＝14，解得x＝y＝2，再代入含a 的方程） 25．C（点拨：本题容易误解A或D．二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的．验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解） 26． B　　27． C　　 28．B（点拨：把k 看作已知常数，求出x、y 的值，再把x、y 的值代入2 x＋3 y＝6，求出k） 29．D（点拨：由已知x＝，y＝－，可得） 30．C（点拨：由题意可得相等关系：（1）7组的学生数＝总人数－4；（2）8组的人数＝总人数＋3） 三、解答题 31．解析：既然是关于x、y的二元一次方程3x－y＋a＝0的一个解，那么我们把代入二元一次方程3x－y＋a＝0得到3－2＋a＝0，解得a＝－1． 32． 33．解析： 设甲、乙的速度分别为x千米/时和y千米/时．第一种情况：甲、乙两人相遇前还相距3千米．根据题意，得 第二种情况：甲、乙两人是相遇后相距3千米．根据题意，得     答：甲、乙的速度分别为4千米/时和5千米/时；或甲、乙的速度分别为千米/时和千米/时． 34．解析：设两个加数分别为x、y．根据题意，得解得 所以原来的两个加数分别为230和42． 35．解析：设第一个方程中y的系数为a，第二个方程的x系数为b．则原方程组可写成 36．解析：由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解．设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得    答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件 37．解析：由“我像你这样大时，你才4岁”可知师傅现在的年龄等于徒弟现在的年龄加上徒弟现在的年龄减4，由“当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”可知52等于师傅现在的年龄加上师傅现在的年龄减去徒弟的年龄．由这两个关系可列方程组求解．设现在师傅x岁，徒弟y岁，根据题意，得    答：现在师傅36岁，徒弟20岁． 38．解析：设第一个长方形的长与宽分别为5xcm和4xcm，第二个长方形的长与宽分别为3ycm和2ycm． 从而第一个长方形的面积为：5x×4x＝20x2＝1620（cm2）；第二个长方形的面积为：3y×2y＝6y2＝150（cm2）．    答：这两个长方形的面积分别为1620cm2和150cm2． 39．解析：由于成都到乙绵阳的距离不知道是多少，从成都到绵阳规定的时间也不知道，所以不能直接求速度．我们可以设成都到绵阳的路程和规定的时间为未知数，列方程求解，最后用速度＝路程÷时间得到标准速度． 解：设成都、绵阳两地的之间距离为s千米，从成都到绵阳的规定时间为t小时． 根据题意，得解得 经检验，符合题意．则＝60（千米/小时）． 答：他以每小时60千米/小时的速度行驶可准时到达． 40． 解析：由甲乙混做的时间和钱数我们可求出甲乙各自单独做需要的时间和费用，然后再进行比较． 解：设甲组单独完成需x天，乙组单独完成需y天，则根据题意，得     经检验，符合题意．即甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天．再设甲组工作一天应得m元，乙组工作一天应得n元． 经检验，符合题意．所以甲组单独完成需300×12＝3600（元），乙组单独完成需140×24＝3360（元）．故从节约开支角度考虑，应选择乙组单独完成．答： 这家店应选择乙组单独完成． 41． 解析：由题意我们只要求出贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数再分别与各自的总数作比即可得到贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分比．     解：设贪污受贿的官员中健康人数有x人，廉洁官员中健康人数有y人，根据题意，得 答：贪污受贿的官员中健康人数占统计人数的40％，廉洁官员中健康人数占统计人数的84％． 42．解：设2009年初一年级秋季招生人数为x，高一年级招生人数为y． 根据题意得解得答：2009年初一年级秋季招生人数为480人，高一年级招生人数为125人． 　43．解析：设晚会上男生有x人，女生有y人． 根据题意，得把③代入④,得x=［2（x-1）－1－1］，解得x=12．把x=12代入④，得y=21．所以答：晚会上男生12人，女生21人． 44．解析：本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解． 我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式． 然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解．最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少． 设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数．依题意可得方程： 2x+5y=33．因为5y个位上的数只可能是０或５，所以2x个位上数应为３或８． 又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：由得x+y=12；由得x+y=15． 所以第一种付款方式付出的张数最少．答：付款方式有３种，分别是：　付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱．　其中第一种付款方式付出的张数最少．