初中数学竞赛精品标准教程及练习10：二元一次方程的整数解.doc

初中数学竞赛精品标准教程及练习（10） 二元一次方程的整数解 一、内容提要 1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中， 若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解 显然a,b互质时一定有整数解。 例如方程3x+5y=1,　 5x-2y=7,　 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。 方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x== (1) , 设是整数），则y=1-5k (2) ,　　 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是（k是整数） 方法二，公式法： 设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法） 3， 求二元一次方程的正整数解： ① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。 二、例题 例1求方程5x－9y=18整数解的能通解 解x= 设（k为整数），y=3－5k,　代入得x=9－9k ∴原方程整数解是　（k为整数） 又解：当x=o时，y=－2， ∴方程有一个整数解它的通解是（k为整数） 　　从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例2，求方程5x+6y=100的正整数解 解：x=(1)， 设(k为整数)，则y=5k,(2) 把（2）代入（1）得x=20-6k， ∵　解不等式组 得0＜k<,k的整数解是1，2，3， ∴正整数解是 例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得 3x+5y=38　（x,y都是正整数） ∵x＝1时，y=7，∴是一个整数解 ∴通解是（k为整数） 解不等式组得解集是　　∴整数k=0，1，2 把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。 三、练习10 1， 求下列方程的整数解 ①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4 2,　求方程的正整数解：①5x+7y=87,　　　②5x+3y=110 3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？ 4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。 5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号） ① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111, ④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324. 6, 　一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？ 7．　用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解： y= 1 4 －2 x= 1. 三、练习10参考答案：公式法①由特解得通解（k为整数） 　　　　　②由特解得通解（为k整数） 整除法①∵x==-3y,……∴通解是（k为整数） ②通解是（k为整数） 2. ① ②　－…… 3.　有6种截法 4.　16，13　　　5.　A，D. 　　 6.　12　　　7.（略） 3