初中数学竞赛精品标准教程及练习64：最大、最小值.doc

初中数学竞赛精品标准教程及练习(64) 最大 最小值 一、内容提要 1.　求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法： ①配方法：原函数可化为y=a(x+)2+. ∵在实数范围内(x+)2≥0， ∴若a>0时，当x=－ 时， y 最小值=； 若a<0时，当x=－ 时， y 最大值=. ②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c－y=0. 　∵x 在全体实数取值时， ∴　△≥0 即b2－4a(c－y)≥0，　　 4ay ≥4ac－b2. 若a>0，y≥，这时取等号，则y 为最小值； 若a<0，y≤，这时取等号，则y 为最大值. 有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便. 2.　用上述两种方法，可推出如下两个定理： 定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.　最大值是定值平方的四分之一. 例如：两正数x和y，　如果x+y=10, 那么xy的积有最大值，最大值是25. 定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小.　最小值是定值的算术平方根的2倍. 例如：两正数x和y，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法. 　　　设a>0,　b>0,　a+b=k .　(k为定值). 那么ab=a(k－a) =－a2+ka=－(a－k)2+. 当a=时，ab有最大值. 证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0,　b>0,　ab=k (k为定值)，再设 y=a+b. 　　　　那么y=a+, 　a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） ∵ a 为正实数， ∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0，　　y2－4k≥0. ∴y≤－2(不合题意舍去)； y ≥2. ∴ y最小值=2. 解方程组　得a=b=. 　　　　∴当a=b=时，a+b 有最小值 2 . 3.　在几何中，求最大、最小值还有下列定理： 　　定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.　当这两边相等时，其和的值最大. 定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.　当这两边相等时，其和的值最小. 定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积. 二、例题 例1.　已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数， 求：x2+y2 的最大、最小值. 解：由已知y2=, ∵y是实数，　∴y2≥0. 即≥0，　6x－3x2 ≥0， x2－2x ≤0. 解得　0≤x≤2. 这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法， x2+y2=x2+=－( x－3)2+ 　　　　　在区间0≤x≤2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4. 　　　　　　∴当x=0时，x2+y2=0是最小值 . 例2.　已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法. 设矩形的长，宽分别为 a,　b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k. 　　　　 即　 　　　　∴a和b是方程　x2－kx+k=0 　的两个实数根. ∵a,　b都是正实数，∴△≥0.　 即(－)2－4k≥0. 解得k≥16；或k≤0 .　　　k≤0不合题意舍去. ∴当k≥16取等号时，a+b,　ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16. 例3.　如图△ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？ 解：用构造函数法 设EH=x, S矩形=y, 则GH=. ∵△AHG∽△ABC， ∴ .　 ∴ y=. 　　　　　∴当x=时，y 最大值 =. 即当EH=时，矩形面积的最大值是. 例4.　如图已知：直线m ∥n，A，B，C都是定点，AB=a, AC=b, 点P在AC上，BP的延长线交直线m于D. 问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？ 解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b－x. 　　　　　∵m∥n，∴. ∴CD= S△PAB+S△PCD=axSinα+(b－x) Sinα =aSinα( =aSinα(2x+. 　　　　　∵2x ×=2b2 (定值)，　根据定理二，2x +有最小值. ∴ 当2x =， x=时， S△PAB+S△PCD的最小值是　(－1)abSinα. 例5.已知：Rt△ABC中, 内切圆O的半径 r=1. 求：S△ABC的最小值. 解：∵S△ABC=ab 　∴ab ＝2S△. 　　∵2r=a+b－c,　　　∴c=a+b－2r. ∴a+b－2r= . 两边平方，得　a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r= a2+b2. 　　4r2+2ab－4(a+b)r=0. 　　　　　用r=1,　ab=2S△ 代入，　得 4+4S△－4(a+b) =0. 　a+b=S△+1. ∵ab=2S△　且a+b=S△+1.　　 ∴a,　b是方程x2－(S△+1)x+2S△=0 的两个根. ∵a,b是正实数，　　　　 ∴△≥0，　 即 [－(S△+1)]2－4×2S△ ≥0，　　　　S△2－6S△+1≥0 . 解得　S△≥3+2或S△≤3－2.　　 S△≤3－2不合题意舍去. ∴S△ABC的最小值是3+2. 例6.已知：.如图△ABC中，AB=，∠C=30.　　求：a+b 的最大值. 解：设 a+b=y , 则b=y－a. 根据余弦定理，得 ()2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30 　　　　写成关于a 的二次方程：　(2+)a2－(2+)ya+y2－(8+4)=0. ∵a 是实数， ∴△≥0. 　　即(2+)2y2－4(2+)[y2－(8+4)]≥0，　 y2－(8+4)2 ≤0 . 　 ∴　－(8+4)≤y ≤(8+4). ∴a+b 的最大值是8+4. 又解：根据定理三 　∵AB和∠C都有定值. 　　　∴当a=b 时，a+b 的值最大. 由余弦定理，()2=a2＋b2－2abCos30 可求出　a=b=4+2.　……… 三、练习64 1.　x1,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是＿＿＿＿＿＿. 2.　若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______. 3.　面积为100cm2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿. 4.　a,　b均为正数且a+b=ab,那么 a+b的最小值 是________. 5.　若x>0,　则x+的最小值是________. 6. 　 如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..　　　　　　　　　　 7.　如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是 以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积 的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 8.　下列四个数中最大的是 ( 　 ) （A） tan48+cot48 ..(B)sin48+cos48.　(C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48. 9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是__________ 10.　如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点P在AB上， PQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQ最大？ 11.　△ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边 三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？ 12.　已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值. 13.　△ABC中∠B=，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状. 14.　直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值. 15.　D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA =k∶(1－k) (0<k<1). 问k取何值时，S△DEF的值最小？ 16.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？ 练习64参考答案： 1. 5.　　 2. 5，5 25.　 3. 40cm 　　4. 4 　　5. 6 　　6.BC上，BC+AD. 7. 最大值是9，∵S△=×3×2×SinBAC,　　∠BAC=90度时值最大. 8.　(A). 　　9. 3<AD≤9 　　 10. P在AB中点时，S△最大值=，　　S△= x与－x的和有定值，　当x=－x时，S△值最大. 11.　当∠BAC=120度时，AD最大，在△ABD中，设∠BAD=α由正弦定理 ，当150－α=90时，　AD最大. 12.　当x=时，有最大值；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3). 13.　当a=c时，a+c有最大值2，这时是等边三角形. 14. 内切圆半径的最大值r=(－1) (仿例6). 15. 当 k=时，S△DEF=S△ABC，16.当PB=1时，S有最大值. 16. 当点P是BC中点时，面积最大值是. 6