初中数学竞赛精品标准教程及练习44：数的整除（二）.doc

初中数学竞赛精品标准教程及练习（44） 数的整除（二） 一、内容提要 第一讲介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题. 几个常用的定理，公式，法则： ⑴　n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）. 例如：a为整数时，2a(a+1)，　　6a(a+1)(a+2), 　24a(a+1)(a+2)(a+3)， …… ⑵　若a 且ac, 　 则　a(bc). ⑶　若a,　b互质，且ac, bc ，　　则abc . 反过来也成立：a,　b互质，　abc，　则ac, bc. 例如：8和15互质，8｜a, 15|a，　 　　则120｜a. 反过来也成立：　若120｜a.　　　　　则　8｜a, 15|a. ⑷由乘法公式（n为正整数）推得： 由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn . 　 得 (a－b)|(an－bn). (a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 . 　　 　(a+b)|(a2n+1+b2n+1). (a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n . (a+b)|(a2n－b2n). 　概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b. 齐奇数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b. 例如（a+b）| (a6－b6), 　(a－b)| (a8－b8)； (a+b)|(a5+b5)， 　(a－b)|(a5－b5). 二、例题 例1. 已知:整数n>2.　　求证：n5－5n3+4n能被120整除.. 证明：n5－5n3+4n＝n(n4－5n2+4)=n(n－1)(n+1)(n+2)(n－2). 　　∵(n－2) (n－1)n(n+1) (n＋2)是五个连续整数，能被n!整除， ∴　120｜n5－5n3+4n. 例2. 已知：n为正整数.　求证：n3+n2+n是3的倍数. 证明：n3+n2+n＝n（2n2+3n+1） =n(n+1)(2n+1) 　=n(n+1)(n+2+n－1) = n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n－1). ∵　3！｜n(n+1)(n+2)，　且3！｜n(n+1)(n－1).. ∴　3｜n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n－1). 即n3+n2+n是3的倍数. 　（上两例关鍵在于创造连续整数） 例3.　求证：⑴　33｜255＋1；　　⑵　1989｜（19901990－19881988）. 证明：⑴　255＋1＝25×11＋111＝3211＋111. 　　　　　∵(32＋1)|(3211+111 ) ， 即33｜255＋1. 　⑵　19901990－19881988＝19901990－19881990＋19881990－19881988.（添两项） ∵（1990＋1988）｜（19901990－19881990）.　 即1989×2｜（19901990－19881990）. ∵　19881990－19881988=19881988(19882－1) ＝19881988（1988＋1）（1988－1）. 即　19901990－19881988＝1989×2N＋1989×19881988×1987.　（N是整数）　 　　∴　1989｜19901990－19881988. 例4　设n是正整数，　求证：7｜（32n+1+2n+2）. 证明：32n+1+2n+2＝3×32n+4×2n=3×9 n+4×2 n＋3×2　n－3×2　n　（添两项） ＝（4×2 n＋3×2　n）＋（3×9 n－3×2　n） ＝（4＋3）＋3（9 n－2　n） ＝7×2 n＋3（9－2）N . （N是整数） ∴7｜（32n+1+2n+2） 　（例3，4是设法利用乘法公式） 例5. 已知能被33整除，求x,　y的值. 解：∵33＝3×11， ∴1＋9+x+y+8+7其和是3的倍数，　即x+y=3K－25 (k为整数). 又（1＋x+8）－(9+y+7)其差是11的倍数，即x－y=11h+7(h是整数). ∵0≤x≤9，　0≤y≤9， ∴0≤x＋y≤18，9≤x－y≤9，x+y>x－y, 且 x+y和x－y同是奇数或偶数. 符合条件的有　. 解得. 例6.设N＝，且17｜N, 求　x.. 解：N＝2078＋100x=17×122＋4＋17×6x－2x ＝17×（122＋6x）+4－2x. ∵　17｜N，　　　 ∴17｜4－2x ， 当 4－2x=0. ∴　x=2. 三、练习44 1. 要使2n+1能被3整除，整数n应取＿＿＿，若6｜（5 n－1）, 则整数n应取＿＿＿. 2. 求证： ①　4!|（n4+2n3－n2－2n）； 　②　24｜n(n2－1)(3n+2)； ③　6｜（n3+11n）； 　　④　30｜（n 5－n）. 3. 求证： ①　100｜9910－1）；　　　　　②　57｜（23333＋72222）； ③　995｜（996996－994994）；　④　1992｜（997997＋995995）. 4. 设n是正整数，求证　3 n+3n+2+62n能被33整除. 5. 求证：六位数能被7，11，13，整除. 6. 已知：五位数能被77整除，求x,　y的值. 7. 已知：a,　b,　c都是正整数，且6｜（a+b+c）. 求证：6｜（a3+b3+c3）. 三、练习44参考答案： 1. 正奇数；正偶数　　 2. ①，②分解为4个连续整数③n(n-1)(n+1)+12n ④n(n-1)(n+1)(n2-4+5) 3. ②81111＋491111③添项－1，1④添项995997－995997 4. 化为3n(1+32)+36n=11×3n＋36 n－3n＝…… 5. 7×11×13＝1001六位数105a+104b+103c+102a+10b+c=…… 6. 仿例5 7. 由6｜（a+b+c）可知a,b,c中至少有一个是偶数，且a3+b3+c3－3abc含有因式a+b+c 3