初中数学竞赛精品标准教程及练习04：零的特性.doc

初中数学竞赛精品标准教程及练习（4） 零的特性 一、内容提要 1.零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数，是整数，是偶数。 1， 零是表示具有相反意义的量的基准数。 例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支衡可记作结存0元。 2， 零是判定正、负数的界限。 若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0 记作　a＞0 a是正数　　读作a＞0等价于a是正数 　　　　b<0 b 是负数 　　　　c≥0 c是非负数（即c不是负数，而是正数或0） 　　　　d0 d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0) 　　　　e0 e不是0　（即e不是0，而是负数或正数） 3， 在一切非负数中有一个最小值是0。 例如　绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。 记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0， a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。 4， 在一切非正数中有一个最大值是0。 例如　－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数）， 　　－（X－2）20，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。 2，零具有独特的运算性质 1， 乘方：零的正整数次幂都是零。 2，除法：零除以任何不等于零的数都得零； 零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。 3， 乘法：零乘以任何数都得零。　即a×0＝0， 反过来　如果　ab=0,那么a、b中至少有一个是0。 要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。 4， 加法　互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。 　　　 即a、b互为相反数a+b=0 5， 减法　两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定， 若a-b=0,则a=b; 　　若a-b＞0,则a＞b;　 　若a-b＜0,则a＜b。 反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a<b时,a-b<0. 三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。 例如　近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下： 1.55近似数1.6<1.65　　　1.595≤近似数1.60<1605 二、例题 例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？ 答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。 例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？ 答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。 例3．要使下列等式成立X、Y应取什么值？为什么？ 　　①X（Y－1）＝0，　　②　｜X－3｜＋（Y＋2）2＝0 答：①根据任何数乘以0都得0，可知当X＝0时，Y可取任何数； 当Y＝1时，X取任何数等式X（Y－1）＝0都是能成立。 　　　②∵互为相反数相加得零，而｜X－3｜≥0，（Y＋2）2≥0， ∴它们都必须是0，即X－3＝0且Y＋2＝0， 故当X＝3且Y＝－2时，等式｜X｜＋（Y＋2）2　＝0成立。 三、练习 1， 有理数a和b的大小如数轴所示: b 0 a 比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接） 2a 0,　 　－3b 0, 　 　　 0, 　 　　－　0，　 　－a2 0, 　－b3 0,　　　　　a+b 0, 　　a－b 0, 　ab 0,　 (－2b)3 0, 　　 0, 　　　 0 2, a表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。 　｜a|>a, 　 a2> －a2, 　a>－a, 　a+1>a 3, x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：＿＿句。 　①（x－2）2有最小值0，　　③　－｜x+3|有最大值0， ② 2－x2有最大值2，　　　④　3＋｜x－1｜有最小3。 4，绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？ 5， 要使下列等式成立，字母X、Y应取什么值？ ①＝0，　②X（X－3）＝0，　③｜X－1｜＋（Y＋3）2＝0 6， 下列说法正确吗？为什么？ ①　a的倒数是　　　②方程（a－1）X＝3的解是X＝ ③ n表示一切自然数，2n－1表示所有的正奇数 ④ 如果a>b, 那么m2a>m2b (a 、b 、m都是有理数 ) 7， X取什么值时，下列代数式的值是正数？ ①　X（X－1）　　②　X（X＋1）（X＋2） 练习参考答案：2.　只一个　　3.　4　　　4.无数多个，0　　 5.       ①x ≠0，②　0或3　③.　X=0且y＝5　（注意或与且的区别） 6.       都不正确，0没有倒数 7.       　①x>1或x<0 ②　-2<x<-1或x>0 2