人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步检测4附答案_20200531233516.doc

人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步检测4附答案 一．选择题（共10小题） 1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（　　） 　 A． 11 B． 10 C． 9 D． 8 　 2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（　　） 　 A． 5cm B． 6cm C． 7cm D． 8cm 　 3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（　　） 　 A． B． C． D． 　 4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（　　） 来源： 　 A． B． C． D． 　 5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（　　） 　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 　 6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（　　） 　 A． 2：5 B． 2：3 C． 3：5 D． 3：2 　 7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（　　） 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 　 8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　） 　 A． 1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：2 　 9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（　　） 　 A． 5 B． C． D． 　 10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（　　） 　 A． ①②⑤ B． ②③④ C． ③④⑤ D． ①④⑤ 　 二．填空题（共10小题） 11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为　_________　．（填出一个正确的即可） 　 12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为　_________　cm． 　 13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=　_________　． 　 14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为　_________　． 　 15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=　_________　cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为　_________　cm2． 　 16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论： ①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB． 其中正确的是　_________　（写出所有正确结论的序号）． 　 17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）． （1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有　_________　条； （2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=　_________　时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的． 　 18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论： ①； ②点F是GE的中点； ③AF=AB； ④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是　_________　． 　 19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=　_________　．（用含n的式子表示） 　 20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是　_________　． 　 三．解答题（共8小题） 21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E． （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当，BP′=5时，求线段AB的长． 　 22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC． （1）求证：PA为⊙O的切线； （2）若OB=5，OP=，求AC的长． 　 23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值． 　 24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F． （1）求证：DP∥AB； （2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长． 　 25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上． （1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值． 　 26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E． （1）求证：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的长； （3）求证：BE是⊙O的切线． 　 27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10 （1）求⊙O的半径． （2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论． （3）求弦EC的长． 　 28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC． （1）求证：AC=AD+CE； （2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q； （i）当点P与A，B两点不重合时，求的值； （ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程） 　 参考答案与解析 　 一．选择题（共10小题） 1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（　　） 　 A． 11 B． 10 C． 9 D． 8 考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．4387773 分析： 判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长． 解答： 解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAF=∠DAF， ∵AB∥DF，AD∥BC， ∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=6，AD=DF=9， ∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形， ∵AD∥BC， ∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE， ∴EC=FC=9﹣6=3， 在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4， ∴AG==2， ∴AE=2AG=4， ∴△ABE的周长等于16， 又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8． 故选D． 点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大． 　 2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（　　） 　 A． 5cm B． 6cm C． 7cm D． 8cm 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773 分析： 由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△AFE∽△DEC， ∴AE：DE=AF：CD， ∵AE=2ED，CD=3cm， ∴AF=2CD=6cm． 故选B． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 　 3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．4387773 专题： 压轴题． 分析： 依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度． 解答： 解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵∠CBD=∠A， ∴△ABC∽△BDC， 同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE， ∴=，=，=，=， ∵AB=AC， ∴CD=CE， 解得：CD=CE=，DE=，EF=． 故选C． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错． 　 4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．4387773 专题： 压轴题． 分析： 求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率； 解答： 解：设正方形的ABCD的边长为a， 则BF=BC=，AN=NM=MC=a， ∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2， ∴小鸟在花圃上的概率为= 故选C． 点评： 本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积． 　 5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（　　） 　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．4387773 分析： 根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值． 解答： 解：设AE=x，则AC=x+4， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD， ∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB， ∴△ACD∽△DCE， ∴=，即=， 解得：x=5． 故选B． 点评： 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE． 　 6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（　　） 　 A． 2：5 B． 2：3 C． 3：5 D． 3：2 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773 分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出结论． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF=4：25， ∴DE：AB=2：5， ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3． 故选B． 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 　 7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（　　） 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．4387773 专题： 压轴题． 分析： 如解答图所示： 结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可； 结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF； 结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等； 结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等． 解答： 解：（1）结论①正确．理由如下： ∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°， ∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN， ∴∠5=∠6， ∴AM=AE=BF． 易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC． 在△ACM与△ABF中， ， ∴△ACM≌△ABF（SAS）， ∴CM=AF； （2）结论②正确．理由如下： ∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4， ∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°， ∴CE⊥AF； （3）结论③正确．理由如下： 证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆， ∴∠7=∠2，∵∠2=∠4， ∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°， ∴△ABF∽△DAH； 证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2， ∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点． 在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点， ∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG． 在△ADG与△NCG中， ， ∴△ADG≌△NCG（SAS）， ∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4， ∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°， ∴△ABF∽△DAH； （4）结论④正确．理由如下： 证法一：∵A、D、C、G四点共圆， ∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°， ∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC． 证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2 则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°． ∵△ADG≌△NCG， ∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC， ∴GD平分∠AGC． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个． 故选D． 点评： 本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考． 　 8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　） 来源： 　 A． 1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：2 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773 分析： 首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值． 解答： 解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC， 则△DFE∽△BAE， ∴=， ∵O为对角线的交点， ∴DO=BO， 又∵E为OD的中点， ∴DE=DB， 则DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3， ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故选D． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值． 　 9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（　　） 　 A． 5 B． C． D． 考点： 圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．4387773 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可． 解答： 解：∵AB为⊙O的直径， ∴AB=5，∠ACB=90°， ∵tan∠ABC=， ∴=， ∵CP⊥CQ， ∴∠PCQ=90°， 而∠A=∠P， ∴△ACB∽△PCQ， ∴=， ∴CQ=•PC=PC， 当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=． 故选D． 点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质． 　 10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（　　） 　 A． ①②⑤ B． ②③④ C． ③④⑤ D． ①④⑤ 考点： 切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．4387773 专题： 计算题；压轴题． 分析： 连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项． 解答： 解：连接OE，如图所示： ∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切， ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°， ∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC， ∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确； 在Rt△ADO和Rt△EDO中， ， ∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）， ∴∠AOD=∠EOD， 同理Rt△CEO≌Rt△CBO， ∴∠EOC=∠BOC， 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°， ∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确； ∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC， ∴△EDO∽△ODC， ∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确； 而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误； 由OD不一定等于OC，选项③错误， 则正确的选项有①②⑤． 故选A 点评： 此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 　 二．填空题（共10小题） 11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为　4s　．（填出一个正确的即可） 考点： 圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．4387773 专题： 压轴题；开放型． 分析： 根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF是直角三角形． 解答： 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C=90°， 而∠ABC=60°，BC=4cm， ∴AB=2BC=8cm， ∵F是弦BC的中点， ∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形， 此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm， ∴t==4（s）． 故答案为4s． 点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系． 　 12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为　5　cm．[来源:学.科.网Z.X.X.K] 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．4387773 专题： 压轴题． 分析： 首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案． 解答： 解：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE； 又∵AD∥BC， ∴∠BEA=∠DAE=∠BAE， ∴AB=BE=6cm， ∴EC=9﹣6=3（cm）， ∵BG⊥AE，垂足为G， ∴AE=2AG．[来源:Zxxk.Com] 在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm， ∴AG==2（cm）， ∴AE=2AG=4cm； ∵EC∥AD， ∴====， ∴=，=， 解得：EF=2（cm），FC=3（cm）， ∴EF+CF的长为5cm． 故答案为：5． 点评： 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中． 　 13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=　12　． 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．4387773 专题： 压轴题． 分析： 延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 解答： 解：如图，延长BQ交射线EF于M， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF∥BC， ∴∠M=∠CBM， ∵BQ是∠CBP的平分线， ∴∠PBM=∠CBM， ∴∠M=∠PBM， ∴BP=PM， ∴EP+BP=EP+PM=EM， ∵CQ=CE， ∴EQ=2CQ， 由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ， ∴==2， ∴EM=2BC=2×6=12， 即EP+BP=12． 故答案为：12． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． 　 14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为　1.5米　． 考点： 相似三角形的应用．4387773 分析： 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 解答： 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB，即=， 则=， ∴h=1.5m． 故答案为：1.5米． 点评： 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 　 15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=　　cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为　　cm2． 考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．4387773 专题： 压轴题． 分析： 设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值． 解答： 解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm， ∵∠AMN=90°， ∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°， ∴∠AMB=∠MNC， 又∵∠B=∠C ∴△ABM∽△MCN，则，即， 解得CN==x（1﹣x）， ∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+， ∵﹣＜0， ∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2． 故答案是：，． 点评： 本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式． 　 16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论： ①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB． 其中正确的是　②③④　（写出所有正确结论的序号）． 考点： 切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．4387773 专题： 计算题；压轴题． 分析： 连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确． 解答： 解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误； 连接BD，如图所示： ∵GD为圆O的切线， ∴∠GDP=∠ABD， 又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°， ∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°， ∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD， ∴△APF∽△ABD， ∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD， ∴∠GDP=∠GPD， ∴GP=GD，选项②正确； ∵直径AB⊥CE， ∴A为的中点，即=， 又C为的中点，∴=， ∴=， ∴∠CAP=∠ACP， ∴AP=CP， 又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°， ∴∠PCQ=∠PQC，[来源:学*科*网] ∴PC=PQ， ∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点， ∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确； 连接CD，如图所示： ∵=， ∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA， ∴△ACQ∽△BCA， ∴=，即AC2=CQ•CB， ∵=， ∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC， ∴△ACP∽△ADC， ∴=，即AC2=AP•AD， ∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确， 则正确的选项序号有②③④． 故答案为：②③④ 点评： 此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 　 17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）． （1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有　1　条； （2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=　或或　时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的． 考点： 相似三角形的判定与性质．4387773 专题： 压轴题． 分析： （1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线； （2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏． 解答： 解：（1）存在另外 1 条相似线． 如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC； 故答案为：1； （2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2． 如图2所示，共有4条相似线： ①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=； ②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=； ③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；