新人教数学 8年级上：同步测控优化训练（15.5 因式分解）.doc

15.5 因式分解 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.下列从左到右的变形是因式分解的是( ) A.(a+b)(a－b)=a2－b2 B.a2－6a+5=a(a－6)+5 C.x2－y2+2x+1=(x+y)(x－y)+2x+1 D.(x－y)2－2(x－y)+1=(x－y－1)2 思路解析：因式分解指多项式的恒等变形，左边是多项式，右边是几个整式的积的形式. 答案：D 2.下列多项式能用平方差公式来分解因式的是( )[来源:Z_xx_k.Com] A.(－x)2+y B.x2+y2 C.－x2+y2 D.－x2－y2 思路解析：看多项式是否符合平方差公式的特征：两个平方项的符号是否相反. 答案：C 3.多项式2ab2c+8a3b中，2ab2c＝2ab·bc，8a3b＝2ab·(4a2)，因此这个多项式的公因式是__________. 思路解析：公因式是多项式各项都含有的公共的因式. 答案：2ab 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.下列各分解因式中，正确的是( ) A.8a3b＝4ab·2a2 B. C.2a+2b+c＝2(a+b)+c D.9x2－4＝(3x+2)(3x－2) 思路解析：因式分解变形是把一个多项式化为多个整式的乘积.选项A与选项B的左边都不是多项式；选项C的右边不是乘积的形式；选项D的变形是因式分解. 答案：D 2.用提公因式法分解因式： (1)2a3b4－10a2b3+2a2b2； (2)(x－y)4+x(x－y)3－y(y－x)3. 思路分析：提公因式法的关键是确定公因式，另一个因式的确定则是拿原多项式除以公因式.当多项式含有括号时，不必急于将括号展开，有时把括号看作一个“整体”，分解起来更为方便. 解：(1)2a3b4－10a2b3+2a2b2=2a2b2(ab2－5b+1). (2)(x－y)4+x(x－y)3－y(y－x)3=(x－y)4+x(x－y)3+y(x－y)3=(x－y)3(x－y+x+y)=2x(x－y)3. 3.运用平方差公式分解因式： (1)49m2－n2； (2)－(x+2)2+16(x－1)2. 思路分析：应用平方差公式分解因式的关键是弄清相当于公式中a、b的数或式各是什么，为了把式子化成符合公式的形式，往往需要先对式子进行必要的变形，比如提取负号、交换项的位置等. 解：(1)原式＝(7m)2－(n)2＝(7m+n)(7m－n). (2)原式＝16(x－1)2－(x+2)2 ＝［4(x－1)］2－(x+2)2 ＝［4(x－1)+(x+2)］［4(x－1)－(x+2)］[来源:学|科|网Z|X|X|K] ＝(4x－4+x+2)(4x－4－x－2) ＝(5x－2)(3x－6) ＝3(5x－2)(x－2). 4.如图15-5-1，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm和r cm，求它们围成的环形面积.如果R＝8.45，r＝3.45呢？(π取3.14) 图15-5-1 思路分析：圆环的面积=大圆面积－小圆面积=π(R2－r2)=π(R+r)(R－r)=π×(8.45+3.45)×(8.45-3.45)=3.14×11.9×5=186.83(cm2). 逆用平方差公式的方法使运算简便. 解：π(R2－r2),[来源:Z_xx_k.Com] 当R＝8.45，r＝3.45时， π(R2－r2)=π(R+r)(R－r)=π×(8.45+3.45)×(8.45－3.45)=3.14×11.9×5=186.83(cm2). 5.计算：2022+202×196+982. 思路分析：像这样一些计算题，如果按一般步骤进行，计算量很大，极易出错.如果能利用因式分解的方法，先因式分解再计算，就可大大简化运算过程. 解：2022+202×196+982＝2022+2×202×98+982＝(202+98)2＝3002＝90 000. 快乐时光 一条狗跑进一家肉店，从柜台上叼起一块肉就跑.肉店老板认出那是邻居的一只狗，那个邻居是一名律师.[来源:学|科|网Z|X|X|K] 肉店老板向邻居打去了电话问：“嘿，如果你的狗从我的肉店里偷去了一块肉，你愿意赔我的肉钱吗？” 律师回答说：“当然可以，那你说多少钱？” “7.98元.”肉店老板回答说. 几天后，肉店老板收到了一张7.98元的支票，随那张支票寄来的还有一张发票，上面写道：律师咨询费150美元. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.多项式－6ab2+18a2b2－12a3b2c的公因式是( ) A.－6ab2c B.－ab2 C.－6ab2 D.－6a3b2c 思路解析：公因式是多项式各项都含有的公共的因式.当所分解的多项式的首项系数是负数时，一般将“－”随公因式一起提出. 答案：C[来源:学科网ZXXK] 2.若x2+12x+a2是一个完全平方式，则a的值为( ) A.36 B.±36 C.6 D.±6 思路解析：完全平方式是形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子. 答案：D 3.若a、b、c是三角形三边的长，则代数式a2+b2－c2－2ab的值( ) A.大于0 B.小于0 C.大于或等于0 D.小于或等于0 思路解析：由于a、b、c是三角形三边的长，因此a、b、c均大于0，且满足三角形的三边关系.要确定a2+b2－c2－2ab的取值范围，其实就是将此多项式分解因式，再由所得因式的正负来确定多项式的正负.a2+b2－c2－2ab＝(a2－2ab+b2)－c2＝(a－b)2－c2＝(a－b+c)(a－b－c). ∵a、b、c是三角形三边的长，∴a+c>b，a<b+c，即a－b+c>0，a－b－c<0. ∴(a－b+c)(a－b－c)<0，即a2+b2－c2－2ab<0. 答案：B 4.若多项式x4+x3－x2－ax+b分解因式后含有x+1和x－1两个因式，则a、b的值分别为( ) A.a=1,b=0 B.a=1,b=－1 C.a=－1,b=0 D.a=0,b=1 思路解析：多项式的因式等于0时，多项式的值也为0. 根据题意，可设x4+x3－x2－ax+b＝M(x+1)(x－1)，则当x=1或x=－1时，x4+x3－x2－ax+b=0，即1－a+b=0或－1+a+b=0，联立解方程组即可. 答案：A 5.分解因式5x2+ax+6＝(5x+3)(x+2)，则a的值为__________. 思路解析：因为5x2+ax+6＝(5x+3)(x+2)＝5x2+13x+6，所以a＝13. 答案：13[来源:Zxxk.Com] 6.用提公因式法分解因式： (1)－15m3n2－21mn2+42m2n2； (2) 2(a－3)2－a+3. 解：(1)－15m3n2－21mn2+42m2n2＝－3mn2(5m2+7－14m). (2)2(a－3)2－a+3＝2(a－3)2－(a－3)＝(a－3)［2(a－3)－1］＝(a－3)(2a－7).[来源:学|科|网Z|X|X|K] 7.运用平方差公式分解因式： (1) (2x+3y)2－1； (2) a4－81b4. 思路分析：应用平方差公式分解因式的关键是弄清相当于公式中的a、b各是什么，为了把式子化成符合公式的形式，往往需要先对式子进行必要的变形，比如提取负号、交换项的位置等，有些多项式一次分解后的因式可能还可以分解，此时应继续分解，直到每一个因式都不能再分解为止. 解：(1)原式＝(2x+3y+1)(2x+3y－1). (2)a4－81b4＝(a2)2－(9b2)2＝(a2+9b2)(a2－9b2)＝(a2+9b2)(a+3b)(a－3b). 8.计算： (1)121×0.13+12.1×0.9－12×1.21； (2)1.992－2.992； 解：(1)121×0.13+12.1×0.9－12×1.21 ＝121×0.13+121×0.09－121×0.12[来源:Z+xx+k.Com] ＝121×(0.13+0.09－0.12) ＝121×0.1[来源:学。科。网] ＝12.1. (2)1.992－2.992＝(1.99－2.99)×(1.99+2.99)＝(－1)×4.98＝－4.98. 9.分解因式：a2－2a+1－b2. 思路分析：观察前三项是完全平方式，可作为一个整体的平方与第四项构成平方差. 解：a2－2a+1－b2＝(a2－2a+1)－b2=(a-1)2－b2=(a－1+b)(a－1－b). 10.观察下列各式： 13+23＝1+8＝9， 而(1+2)2＝9， ∴13+23＝(1+2)2. 13+23+33＝36， 而(1+2+3)2＝36， ∴13+23+33＝(1+2+3)2. 13+23+33+43＝100， 而(1+2+3+4)2＝100，∴13+23+33+43＝(1+2+3+4)2. ∴13+23+33+43+53＝( )2. 根据以上规律填空： (1)13+23+33+…+n3＝( )2＝___________. (2)猜想：113+123+133+143+153＝___________. 思路解析：观察探索规律，式子左边是从1开始的连续整数的立方和，右边是这些数的完全平方和.在第(2)问中，可以计算1到15的立方和减去1到10的立方和的差. 答案：1+2+3+4+5 (1)1+2+3+…+n n(n+1)[来源:学,科,网Z,X,X,K] (2)(13+23+…+153)－(13+23+…+103) ＝［×15×(15+1)］2－［×10×(10+1)］2 ＝1202－552 ＝(120+55)(120－55) ＝175×65＝11 375 11.我们知道，x2－1运用平方差公式可以分解成(x－1)(x+1)，那么x3－1，x4－1，…，xn－1呢？ 首先探究：x4－1=(x2－1)(x2+1)=(x－1)(x+1)(x2+1)=(x－1)(x3+x2+x+1). (1)观察上式特点：含有(x－1)这个因式，另一个因式是_________. (2)类比：x3－1=(x－1)(__________). 请用整式乘法验证你的结论： (x－1)×(_________)=__________. (3)猜想：xn－1=(x－1)(_________). (4)根据以上猜想，将x3－8y3分解因式. 思路解析：阅读理解，联想猜测是解决问题的有效途径. x4－1=(x－1)(x3+x2+x+1)中，另一个因式是x的三次四项式，多项式的次数比4小1，各项的系数都是1.类比x3－1的乘积式就可以猜测出结论. 答案：(1)x3+x2+x+1 (2)x2+x+1 x2+x+1 x3－1 (3)xn-1+xn-2+…+x2+x+1 (4)(x－2y)(x2+2xy+4y2).