新人教数学 8年级上：同步测控优化训练（13.2 三角形全等的条件（二））.doc

13.2 三角形全等的条件（二） 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.如图图13-2-15，△ABC是任意一个三角形.画△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B. 图13-2-15 作法：①画线段A′B′=AB.②在A′B′的同旁，分别以A′、B′为顶点画∠DA′B′=∠A，∠EB′A′=∠B，A′D、B′E交于点C′.③连结B′C′，得△A′B′C′. 2.如图13-2-16，△ABC是任意一个直角三角形，∠C=90°.画Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′B′=AB，B′C′=BC. 图13-2-16 思路解析：先作直角，在一边上截取直角边长，再作出斜边. 作法：①作∠NC′M＝90°；②在射线C′N上截取C′B′=CB；③以点B′为圆心，以A′B′长为半径画弧，交C′M于A′；④连结A′B′，则△A′B′C′即为所求的三角形. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)[来源:Z&xx&k.Com] 1.小颖同学在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了（如图13-2-17所示），她想分别画三个与原来一样的三角形，你认为是否可以，说明你的理由. [来源:学.科.网] 图13-2-17 思路解析：观察每个三角形是否保留了可以判定三角形全等的条件. 答案：不可以，但可以画出与三角形(1)、(3)相同的三角形. 理由：在三角形(1)中保留了完整的两角与它们的夹边，可以根据ASA画出与(1)全等的三角形； 在三角形(3)中保留了完整的两边一夹角，可以根据SAS画出与(3)全等的三角形； 在三角形(2)中只保留了一个角，因此不能画出与(2)全等的三角形. 2.如图13-2-18，已知AB∥DC，要使△AOB≌△COD，只需要增加的一个条件是________，或者________，或者________. 图13-2-18 思路解析：已知平行关系及对顶角相等关系，可以得到△AOB与△COD中至少有两对角对应相等，根据ASA或AAS，只需添加一对边相等的条件即可. 答案：AB=CD OA=OC OB=OD 3.如图13-2-19，点C在BD上，AC⊥BD于点C，BE⊥AD于点E，AC=BC，那么CD和CF相等吗？为什么？ 图13-2-19 思路分析：看CD与CF所在的三角形是否全等.[来源:学科网] 根据“同角的余角相等”可以得到△ACD与△BCF中有相等的锐角，它们中还有一对相等的直角边，根据ASA可以证得两个直角三角形是全等的. 解：相等.∵AC⊥BD，BE⊥AD，∴∠A+∠D=90°，∠B+∠D=90°.∴∠A=∠B. 在△ACD与△BCF中， ∵ ∴△ACD≌△BCF（ASA）.∴CD=CF. 4.如图13-2-20，已知OD⊥DP于D，OE⊥PE于E，OD=OE， 求证：(1)DF=EF;(2)OP⊥DE. 图13-2-20 思路解析：先证△ODP≌△OEP（HL），再证△ODF≌△OEF（SAS），得DF=EF，∠OFD=∠OFE＝180°×＝90°. 证明：（1）∵OD=OE，OP=OP， ∴△ODP≌△OEP（HL）. ∴∠DOP=∠EOP. ∵OF=OF，∴△ODF≌△OEF（SAS）. ∴DF=EF，∠OFD=∠OFE.[来源:学科网ZXXK] （2）∵∠OFD+∠OFE=180°， ∴∠OFD=∠OFE=90°.∴OP⊥DE. 快乐时光 毕业典礼上，校长宣布全年级第一名的同学上台领奖.直到连续叫了几声后，小明才慢慢地走上台. 后来，老师问小明：“怎么了，是不是生病了？还是刚才没听清楚？”[来源:学科网] 小明答道：“不是的，我是怕其他同学没听清楚.” 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.(2010江西课改模拟模拟)如图13-2-21，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，那么图中全等三角形共有对______.( ) 图13-2-21 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 2.下列条件不能判断两个直角三角形全等的是( ) A.有两条直角边对应相等 B.有两个锐角对应相等 C.有斜边和一条直角边对应相等 D.有一个锐角和一条边对应相等 思路解析：直角三角形全等既可以用一般三角形全等的判定方法（直角作为一对相等的角），又可用“HL”判定，这些条件中至少有一对相等的边. 答案：B 3.△ABC和△A′B′C′中，AD是BC边上的高，A′D′是B′C′边上的高，若AD=A′D′，AB=A′B′，AC=A′C′，则∠C与∠C′的关系是( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无法确定 思路解析：三角形的高可能在三角形外，例如：下图中△ABC与△A′B′C′满足题目所给的已知条件，但它们不全等，此时∠C与∠C′是互补关系；[来源:Z,xx,k.Com] 当△ABC与△A′B′C′都是锐角三角形或都是钝角三角形时，两个三角形全等，此时∠C与∠C′是相等关系. 答案：C 4.实验回答：把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，如图13-2-22，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，固定住长木棍，把短木棍摆起来，这说明________. 图13-2-22 图13-2-23 思路解析：AB、AC长度一定，∠ABC大小一定，但△ABC不是确定的. 答案：两边及其一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等 5.如图13-2-23，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，AE⊥CE于E，DE=4 cm，CE=2 cm，则BD=_________ cm. 思路解析：根据“同角的余角相等”可以得到∠BAD＝∠ACE，则Rt△ABD≌Rt△CAE（AAS），所以BD=AE,AD=CE.∴BD=AE=AD+DE=CE+DE. 答案：6[来源:Z|xx|k.Com][来源:学科网] 6.如图13-2-24，已知在△ABD中，AC⊥BD于点C，∠DEC=∠BEC， （1）求证：AB=AD； （2）图中还有什么结论成立？（至少写出两个） 图13-2-24 思路解析：欲证AB＝AD，看这两条线段所在的三角形是否全等，考虑Rt△ABC与Rt△ADC的已知相等条件，只有一对公共边（斜边）和一对直角相等，缺少一个条件.[来源:学,科,网Z,X,X,K] 观察Rt△ECB与Rt△ECD，用已知条件∠DEC=∠BEC，根据ASA可证明它们是全等形，得到对应边或对应角相等，为证明前面的一对三角形全等提供一个条件. （1）证明：∵∠BEC＝∠DEC，∠BCE＝∠DCE，EC＝EC，∴Rt△ECB≌Rt△ECD（ASA）. ∴BC=DC. 在△ABC与△ADC中， ∵ ∴△ABC≌△ADC.∴AB=AD. （2）解：BE=DE，∠ABE=∠ADE，∠BAE=∠DAE等. 7.(2010江苏常州模拟)如图13-2-25，已知△ABC中，AB=AC，矩形BCDE的边DE分别与AB、AC交于点F、G.求证：EF=DG. 图13-2-25 证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. 又∵四边形BCDE是矩形， ∴BE=DC,∠E=∠D=∠EBC=∠BCD=90°.[来源:学#科#网] ∴∠EBF=∠DCG. ∴△BEF≌△CDG.∴EF=DG. 8.如图13-2-26，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ 图13-2-26 思路分析：先从实际问题中抽象出几何模型（如图），然后，再利用HL证明Rt△BAC≌Rt△EDF. 解：∠ABC+∠DFE=90°，在Rt△BAC和Rt△EDF中，AC=DF且BC=EF. ∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）. ∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）. ∵∠DEF+∠DFE=90°， ∴∠ABC+∠DFE=90°.