九年级数学上册24.2.2+直线和圆的位置关系同步测试+新人教版_20200531233441.doc

直线和圆的位置关系 第1课时　直线和圆的位置关系　[见A本P43] 1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是(　B　) 【解析】 ∵⊙O的半径r为5，圆心O到直线l的距离d为3，且0＜d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交且直线l不经过圆心． 2．已知圆的半径是5 cm，如果圆心到直线的距离是5 cm，那么直线和圆的位置关系是(　B　) A．相交　　B．相切　　C．相离　　D．内含 【解析】 d＝r＝5 cm，故选B. 3．[2013·青岛]直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是(　C　) A．r＜6 B．r＝6 C．r＞6 D．r≥6 【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝6， ∴r＞6. 4．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是(　D　) A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【解析】 当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2＝r，⊙O与直线l相交，故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 5．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(　C　) A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 6．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为 (　B　) A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm 7．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝AC＝10，以C为圆心，分别以5，5，8为半径作圆，那么直线AB与圆的位置关系分别为__相离__、__相切__、__相交__． 【解析】 C到AB的距离d＝5.当d＝5＞r＝5时，直线AB与圆相离；当d＝5＝r时，直线AB与圆相切；当d＝5＜r＝8时，直线AB与圆相交． 8．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是__相离__． 【解析】 因为⊙O的面积为9π cm2，所以⊙O的半径r＝3 cm，而点O到直线l的距离d＝π cm，所以d＞r，所以直线l与⊙O相离． 图24－2－7 9．如图24－2－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以3 cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是__相交__． 【解析】 在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，∠A＝60°，所以∠B＝30°，所以AB＝2AC.由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋42＝4AC2，解得AC＝(负值已舍)，所以AB＝2AC＝.设C到AB的距离为CD，则CD＝＝＝2 cm＜3 cm，所以以点C为圆心，以3 cm长为半径的⊙C与AB的位置关系是相交． 10．已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝24 cm，以r为半径作⊙P. (1)若r＝12 cm，试判断⊙P与OB的位置关系； (2)若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件． 图24－2－8 解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP＝90°. ∵∠AOB＝30°，OP＝24 cm， ∴PC＝OP＝12 cm. (1)当r＝12 cm时，r＝PC， ∴⊙P与OB相切， 即⊙P与OB位置关系是相切． (2)当⊙P与OB相离时，r＜PC， ∴r需满足的条件是：0 cm＜r＜12 cm. 图24－2－9 11．如图24－2－9，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－与⊙O的位置关系是(　B　) A．相离　　　　　B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能 12．如图24－2－10，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y＝ax2上，⊙P恒过点(0，n)．且与直线y＝－n始终保持相切，则n＝____(用含a的代数式表示)． 图24－2－10 【解析】 如图，连接PF.设⊙P与直线y＝－n相切于点E，连接PE.则PE⊥AE. ∵动点P在抛物线y＝ax2上， ∴设P(m，am2)． ∵⊙P恒过点F(0，n)， ∴PE＝PF，即m＝2n 又∵am2＝n ∴n＝. 故答案是. 13．如图24－2－11，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O. 图24－2－11 (1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)； (2)当m取何值时，CD与⊙O相切？ 解：(1)分别过A，O两点作AE⊥CD，OF⊥CD，垂足分别是点E，F， ∴AE∥OF，OF就是圆心O到CD的距离． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴AE＝OF. 在△ADE中，∠D＝60°，∠AED＝90°，∴∠DAE＝30°，∴DE＝AD＝m，∴AE＝＝＝m，∴OF＝AE＝m. (2)∵OF＝m，AB为⊙O的直径，且AB＝10， ∴当OF＝5时，CD与⊙O相切于F点， 即m＝5，m＝，∴当m＝时，CD与⊙O相切． 14．如图24－2－12所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，且AD＝BC，E，F分别为AB，AC的中点，试问以EF为直径的圆与BC有怎样的位置关系． 图24－2－12 　 第14题答图 解：如图所示，过EF的中点O作OG⊥BC于G， ∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF为△ABC的中位线．∴EF＝BC， 即BC＝2EF. 又∵OG⊥BC，AD⊥BC，EF是△ABC的中位线， AD＝BC，∴OG＝AD＝BC＝×2EF＝EF＝OF.∴以EF为直径的圆与BC相切． 15．如图24－2－13所示，点A是一个半径为300 m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C两个村庄间修一条长为1 000 m的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明． 图24－2－13 　　　 第15题答图 【解析】 此题实质上是判断直线BC与⊙A的位置关系．问题的关键是求出点A到直线BC的距离AH的长，可设AH＝x，在Rt△ABH和Rt△ACH中分别用x表示出BH及CH，然后依据BH＋CH＝BC构建方程求解即可． 解：如图所示， 过点A作AH⊥BC于点H，设AH＝x m. ∵∠ABC＝45°，∴BH＝AH＝x m．∵∠ACB＝30°，∴AC＝2x m， 由勾股定理可得CH＝x m. 又∵BH＋CH＝BC，BC＝1 000 m，∴x＋x＝1 000，解得x＝500(－1)>300， 即BC与⊙A相离，故此公路不会穿过森林公园． 16．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘侵袭．如图24－2－14所示，近日，A城气象局测得沙尘暴的中心在A城的正西方向240 km的B处，正以每小时12 km的速度向北偏东60°的方向移动，距沙尘暴的中心150 km的范围内为受影响区域． (1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？ (2)若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？ 图24－2－14 　　　 第16题答图 解：(1)如图所示，过A作AC⊥BM于C，则AC＝AB＝120<150，因此A城受到这次沙尘暴的影响． (2)设沙尘暴由B移动到D点时A城刚好受到这次沙尘暴的影响，则AD＝150，DC＝＝90，那么A城遭受影响的时间为＝＝＝15(h)． 第2课时　切线的判定和性质　[见B本P44] 1．下列结论中，正确的是(　D　) A．圆的切线必垂直于半径 B．垂直于切线的直线必经过圆心 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线 【解析】 根据切线的性质来判断．选项A中，只有过切点的半径才与切线垂直；选项B中，只有过切点且垂直于切线的直线才经过圆心；选项C中，只有垂直于切线的半径才经过切点，所以A，B，C都错误，故选D. 2．如图24－2－15，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB，若∠ABC＝70°，则∠A等于(　B　) A．15°　　B．20°　　C．30°　　D．70° 【解析】 ∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°.∵∠ABC＝70°，∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝20°. 图24－2－15 图24－2－16 3．如图24－2－16所示，⊙O与直线AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，若∠BAC＝30°，则∠B等于(　B　) A．29° B．30° C．31° D．32° 【解析】 连接OA，则∠OAB＝90°，又∠CAB＝30°， ∴∠OAC＝60°.又OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形，∴∠O＝60°， ∴∠B＝30°. 4．如图24－2－17所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于(　A　) 图24－2－17 A．50° B．40° C．60° D．70° 【解析】 连接OC， ∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC， ∴∠BOC＝2∠CDB，又∠CDB＝20°， ∴∠BOC＝40°， 又∵CE为圆O的切线， ∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°， 则∠E＝90°－40°＝50°. 图24－2－18 5．如图24－2－18，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(　A　) A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD 6．如图24－2－19，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点C，若∠AOB＝120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足(　C　) A．R＝r B．R＝3r C．R＝2r D．R＝2r 【解析】 连接OC，因为大圆的弦切小圆于点C，所以OC⊥AB，又因为OA＝OB，所以∠AOC＝×120°＝60°，所以∠A＝30°，所以OA＝2OC，即R＝2r，故选C. 图24－2－19 图24－2－20 7．如图24－2－20，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，⊙O的半径OA＝2 cm，∠P＝30°，则PO＝__4__cm. 8．如图24－2－21，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为__32°__． 图24－2－21 　　　 图24－2－22 9．如图24－2－22，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__AB⊥BC__． 【解析】 当△ABC为直角三角形时，即∠ABC＝90°时，BC与圆相切，理由是：经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线． 10．如图24－2－23，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于B点，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是__6__． 图24－2－23 　　　 图24－2－24 11．如图24－2－24，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线． 解：(1)连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°， ∴∠COB＝60°， 又∵OC＝OB. ∴△OBC是正三角形， ∴BC＝OC＝2. (2)证明：∵BC＝CP， ∴.∠CBP＝∠CPB， ∵△OBC是正三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝60°. ∴∠CBP＝30°， ∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°， ∴OB⊥BP， ∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线． 12．如图24－2－25，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°. (1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？ (2)连接CD，若CD＝5，求AB的长． 图24－2－25 第12题答图 解：(1)直线BD与⊙O相切． 理由如下：如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，∴∠ODB＝180°－∠ODA－∠DAB－∠B＝180°－30°－30°－30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切． (2)如图，连接CD，由(1)知，∠ODA＝∠DAB＝30°， ∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°.又∵OC＝OD， ∴△DOC是等边三角形，∴OA＝OD＝CD＝5. 又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝10， ∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝15. 13．如图24－2－26，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°. (1)求∠ABC的度数； (2)求证：AE是⊙O的切线． 解：(1)∵∠ABC与∠D都是所对的圆周角， ∴∠ABC＝∠D＝60°. (2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－∠ABC＝30°，∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线． 图24－2－26 图24－2－27 14．如图24－2－27，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A＝30°.求证：(1)BD＝CD；(2)△AOC≌△CDB. 证明：(1)∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°. 又∵∠A＝30°，OA＝OC＝OD，∴∠ACO＝∠A＝30°，∠ODC＝∠OCD＝90°－∠ACO＝60°.又∵BC与⊙O切于C点，∴∠OCB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠OCD＝30°，∴∠B＝∠ODC－∠BCD＝30°， ∴∠BCD＝∠B，∴BD＝CD. (2)∵∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，∴AC＝BC，∴△AOC≌△CDB. 图24－2－28 15．如图24－2－28，△OAC中，以O为圆心、OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA. (1)判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若OA＝5，OD＝1，求线段AC的长． 解：(1)∵点A，B在⊙O上，∴OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB.∵∠CAD＝∠CDA＝∠BDO，∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA.∵BO⊥CO， ∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA＝90°，即∠OAC＝90°，∴AC是⊙O的切线． (2)设AC长为x.∵∠CAD＝∠CDA，∴CD＝AC，即CD长为x.由(1)知OA⊥AC，∴在Rt△OAC中，OA2＋AC2＝OC2，即52＋x2＝(1＋x)2，解得x＝12，即线段AC的长为12. 16．如图24－2－29，⊙O的直径AB＝6 cm，P是AB的延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC. (1)若∠CPA＝30°，求PC的长； (2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的值． 图24－2－29 第16题答图 【解析】 (1)由PC是⊙O的切线知PC⊥OC，又∠CPA＝30°，故只要知道OC即可求得PC的长；(2)在圆中，半径相等是证角相等的重要手段，此题只要在△APM中，求∠A＋∠APM的大小即可． 解：(1)如图所示，连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.∵∠CPA＝30°，OC＝＝3，∴OP＝2OC＝6，∴PC＝＝3. (2)∠CMP的大小不发生变化且∠CMP＝45°. ∵PM是∠CPA的平分线，∴∠CPM＝∠MPA. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.在△APC中，∵∠A＋∠ACP＋∠CPA＝180°， ∴2∠A＋2∠MPA＋90°＝180°，∴∠A＋∠MPA＝45°，∴∠CMP＝∠A＋∠MPA＝45°，即∠CMP的大小不发生变化且∠CMP＝45°.