初中数学竞赛精品标准教程及练习66：辅助圆.doc

初中数学竞赛精品标准教程及练习（66） 辅助圆 一、内容提要 1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆. 2. 经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理： ① 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). ② 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. ③ 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. ④ 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆. 推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径). 3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有： ① 同弧所对的圆周角相等. ② 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. ③ 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系. ④ 圆中成比例线段定理：相交弦定理 ，切割线定理. 4. 证明 型如ab+cd=m2常用切割线定理 二、例题 例1.已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高. 求证：AO⊥DE 证明：延长AO交△ABC的外接圆于F，连接BF. ∵O是△ABC的外心 ∴AF是△ABC外接圆的直径，∠ABF=Rt∠. ∵BE，CD是高，∠BDC=∠CEB=Rt∠. ∴B，C，E，D四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆) ∴∠ADE=∠ECB=∠F. ∴∠AGD=∠ABF=Rt∠， 即AO⊥DE. 例2.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内的一点，且∠OPB=45， PA∶PB=5∶14，则PB=____cm.　　　　　　 解：∵∠OPB=∠OAB=45 ∴ABOP四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆) ∴∠APB=∠AOB=Rt∠. 在Rt△APB中，设PA为5x，则PB是14x. ∴(5x)2+(14x)2=1989. 解得x=3, 　 14x.＝42. ∴PB=42 (cm). 例3.已知：平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，AF⊥BC于F. 求证：AB×AE+CB×CF=AC2. 证明：作BG⊥AC交AC 于G. ∵CE⊥AB，　AF⊥BC. ∴A，F，B，G和B，E，C，G分别共圆. 　　　　　　　　　(对角互补的四边形顶点共圆) 根据切割线定理，得 AB×AE=AG×AC CB×CF=CG×AC ∴AB×AE+CB×CF=AC(AG+CG)=AC2. 例4.已知：AD是Rt△ABC斜边的高，角平分线BE交AD于F. 求证：AE2=AB2－BE×BF. 分析：根据同角的余角相等，可证AE=AF. 由射影定理AB2=BD×BC. 故只要证AE×AF＝BD×BC－BE×BF 创造应用切割线定理的条件，作△ABC的 外接圆并延长BE交圆于G，得 F、D、C、G四点共圆 . ∴ BD×BC=BF×BG. ∴右边= BF×BG.－ BE×BF=BF(BG－BE)=BF×EG 从而转为要证AE×AF= BF×BG. 即 只要证△AEG∽△BFA……(证明由同学自已完成) 例5已知：从⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB切点A和B，在AB上任取一点C，经过点C作OC的垂线交PA于M，交PB于N.　 求证：OM=ON. 证明：连结OA，OB . ∵A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB. 又∵OC⊥MN. ∴A，M，C，O和B，N，O，C分别共圆. (辅助圆可以不画) 根据同弧所对的圆周角相等，得 ∠OAC=∠OMC，　∠ONC=∠OBC. ∵OA=OB， 　 ∴∠OAC=∠OBC. ∴∠OMC=∠ONC ， ∴OM=ON. 三、练习66 1.已知：AD是△ABC的高，DE，DF分别是△ADB和△ADC的高 求证： B，C，F，E四点共圆 2.已知：两条线段AB和CD相交于点P，且PA×PB=PC×PD. 求证：A，B，C，D四点共圆. 3.已知：⊙O和⊙O，相交于A，B，过点A作一直线交⊙O于C，交⊙O，于D，分别过　　点C和点D作⊙O和⊙O，的切线相交于点P . 求证：P，C，B，D四点在同一个圆上. 4.已知：E是正方形ABCD边BC上的一点，过点E作AE的垂线和∠C的外角平分线交于点F. 求证：AE=AF. 5.已知：M是平行四边形ABCD对角线AC上的一点，过点M画两组对边的垂线段分别交AB，CD于E，F交AD，BC于G，H. 求证：EG∥FH. 6.已知：△ABC的三条高AD，BE，CF交于点H. 求证：BH×BE+CH×CF=BC2. 7.已知：AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，G 是CD上的一点，AG的延长线交半圆于H. 求证：CD2+AD2=AG×AH. 8.已知：AD是△ABC的角平分线 . 求证：AD2=AB×AC.＝DB×DC 9.已知：凸五边形ABCDE中.∠A=3α，BC=CD=DE，∠C=∠D=180.＝2α. 求证：AC，AD，AE三等分∠A. 　　 10.求证：圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等 11.求证：圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积(托列密定理) 12.如图已知：圆内接四边形ABCD中，由AB上一点M作MP⊥BC，MQ⊥CD， MR⊥DA，PR交MQ于N. 求证：. 13.如图已知：∠ACE=∠CDE=Rt∠，点B在CE上，CA=CB=CD，过A，C，D 的圆交AB于F. 求证：点F是△CDE的内心 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13 3