初中数学竞赛精品标准教程及练习（16）整数的一种分类一、内容提要1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A除以m的余数。即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数(0≤余数<除数)例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1（ －1＝5（－1）＋4。－9＝5（－2）＋1。）2．显然，整数除以正整数m,它的余数只有m种。例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝（k为整数）m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。举例如下：①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2（余数1＋1＝2）②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余数1×3＝3）③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4（余数22＝4）以上等式可叙述为：①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。如： 17除以5余2∴176除以5的余数是4（26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。二、例题例1.今天是星期日，99天后是星期几？分析：一星期是7天，选用模m=7,求99除以7的余数解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同，∴99天后是星期一。又解：设｛A｝表示A除以7的余数，｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1例2.设n为正整数，求43n+1除以9的余数。分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式解：43n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n (9×7＋1)n除以9的余数是1n=11∴43n+1除以9的余数是4。例3.求证三个连续整数的立方和是9的倍数解：设三个连续整数为n－1,n,n+1M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)把整数n按模3，分为三类讨论。当n=3k（k为整数，下同）时，M＝3×3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2)当n=3k+1时，M＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3)=9(3k+1)(3k2...
