九年级数学上册24.3+正多边形和圆同步测试+新人教版.doc

正多边形和圆 1．正六边形的边心距与边长之比为(　B　) A.∶3　　B.∶2　　C．1∶2　　D.∶2 【解析】 如图：设正六边形的边长是a， 则半径长也是a； 经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC， 则AC＝AB＝a， ∴OC＝＝a， ∴正六边形的边心距与边长之比为：a∶a＝∶2. 2．如图24－3－1，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是(　D　) 图24－3－1 A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 C.＝ D．∠BAC＝30° 【解析】 因为OA＝AB＝OB，所以△OAB是等边三角形，又OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC＝30°，所以∠BAC＝15°，D不正确． 3．如图24－3－2，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O(使该角的顶点落在点O处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是(　B　) 图24－3－2 A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】 360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4； 360÷120＝3；360÷180＝2. 因此n的所有可能的值共五种情况． 4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(　C　) 图24－3－3 A．6 mm　　　　　B．12 mm C．6 mm D．4 mm 5．已知正六边形的边心距为，则它的周长是(　B　) A．6 B．12 C．6 D．12 【解析】 正六边形的边长等于半径，设半径为R，则＋()2＝R2，∴R＝2，它的周长是6R＝6×2＝12，故选B. 6．若正六边形的边长为4 cm，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm，边心距是__2__cm，它的每一个内角是__120°__． 7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为__5__cm. 8．已知一个正n边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n＝__8__． 【解析】 由＝×，得n＝8. 9．已知⊙O和⊙O上的一点A，如图24－3－4所示． 图24－3－4 (1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； (2)在(1)题所作的图中，如果点E在上，试证明EB是⊙O的内接正十二边形的一边． 【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)计算EB所对的圆心角的度数． 解：(1)如图所示，在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC和BD，连接AB，BC，CD，DA，得⊙O的内接正方形ABCD；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O中作出正六边形AEFCGH. (2)如图，连接OE. ∵AE是正六边形的一边， ∴∠AOE＝＝60°.∵AB是正方形的一边，∴∠AOB＝＝90°，∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－60°＝30°.设EB是⊙O的内接正n边形的一边，则＝30°，∴n＝12， ∴EB是⊙O的内接正十二边形的一边． 10．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤： (1)作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1； (2)以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连接BD，如图2.若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是(　C　) 图24－3－5 A．BD2＝OD B．BD2＝OD C．BD2＝OD D．BD2＝OD 11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm2，则正八边形的面积为____________cm2. 图24－3－6 【解析】连接HE，AD， 在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N， ∵正八边形每个内角为：＝135°， ∴∠HGM＝45°， ∴MN＝MG， 设MH＝MG＝x， 则HG＝AH＝AB＝GF＝x， ∴BG×GF＝2(＋1)x2＝20， 四边形ABGH面积＝ (AH＋BG)×HM＝(＋1)x2＝10， ∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm2)． 12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：五边形ABCDE是正五边形． 图24－3－7 第13题答图 证明：如图所示，连接BE，AD，设纸条的宽度为h， 则S△ABE＝AB·h＝AE·h， ∴AB＝AE， 同理得AB＝BC，BC＝CD，∴AE＝AB＝BC＝CD.∵纸条的宽度固定，∴AE∥BD，CD∥BE，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.由折叠性质得∠ABD＋∠ABC＝180°，从而得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝36°，由此易得∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，AE＝AB＝BC＝CD＝DE，∴五边形ABCDE是正五边形． 13．如图24－3－8所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，求证：五边形AEBCD是正五边形． 图24－3－8 【解析】 要证明五边形AEBCD是正五边形，只需证＝＝＝＝即可． 证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°. 又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°， 即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE， ∴＝＝＝＝， ∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点， ∴五边形AEBCD是正五边形． 14．如图24－3－9，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O. (1)写出图中所有的等腰三角形； (2)判断四边形AODE的形状，并说明理由． :学科 图24－3－9 解：(1)△ABO，△ABC，△BOC，△DOC，△BCD. (2)四边形AODE是菱形，理由如下： ∵AB＝BC，∠ABC＝＝108°， ∴∠BAC＝∠BCA＝×(180°－108°)＝36°， 同理得∠CBD＝∠CDB＝36°，∴∠ABO＝∠ABC－∠CBD＝72°，∠AOB＝180°－∠ABO－∠BAC＝72°，∴AB＝AO，同理得DO＝DC，∴OA＝AE＝ED＝DO，∴四边形AODE是菱形． 15．小刚现有一边长为a m的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？ 解：如图所示，在正方形ABCD中，△DEF，△CGH，△BOP，△AMN为全等的等腰直角三角形，八边形EMNOPHGF为正八边形． 设直角边DE＝DF＝CG＝CH＝x. 在Rt△DEF中，EF＝x. ∵EF＝FG，且DC＝DF＋FG＋CG，∴x＋x＋x＝a， 解得x＝a≈0.3a， 因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3a m的等腰直角三角形，即可得到一个面积最大的正八边形风筝． 16．小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图24－3－10所示，该正五边形的边心距OB长为，AC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算AC＋AB＝____． 图24－3－10 【解析】 设正五边形的边长为a，根据正五边形的面积等于科学方舟面积的2倍列方程求解，依题意，有××a×5＝×2， 即a＝×a，∴AB＋AC＝.