8年级数学人教版上册同步练习11.2与三角形有关的角（含答案解析）.doc

11.2与三角形有关的角 专题一 利用三角形的内角和求角度 1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数． 3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________； （2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程） （3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可） 专题二 利用三角形外角的性质解决问题 4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°． （1）求∠DCE的度数； （2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明） 6．如图： （1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C； （2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论． 状元笔记 【知识要点】 1．三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°． 2．直角三角形的性质及判定 性质：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．三角形的外角及性质 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【温馨提示】 1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角． 2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角． 【方法技巧】 1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”． 2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． 参考答案: 1．C 解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=∠ACE，∠2=∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=∠A=25°．故选C． 2．解：（法1） 因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°， 所以(∠BAC＋∠ABC)=45°. 因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ， ∠BAP=∠BAC，∠ABP=∠ABC ， 即∠BAP＋∠ABP=45°， 所以∠APB=180°－45°=135°. （法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°， 所以(∠BAC＋∠ABC)=45°， 因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC， ∠DBC=∠ABC，∠PAC=∠BAC ， 所以∠DBC＋∠PAD=45°. 所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD =∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°. 3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C； （2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B， ∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P， 又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠P－∠D=∠B－∠P， 即2∠P=∠B+∠D， ∴∠P=（40°+30°）÷2=35°． （3）2∠P=∠B+∠D． 4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD，即∠P=50°－（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B． 5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°， ∴∠ACB=68°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB=∠ACB=34°． ∵CE是AB边上的高， ∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°． ∴∠DCE=34°－18°=16°． （2）∠DCE=（∠B－∠A）． 6．（1）证明：延长BD交AC于点E， ∵∠BEC是△ABE的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B． ∵∠BDC是△CED的外角， ∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B． （2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°． 证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD =∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1 =（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4） =180°+180°=360°． 5