上海市闵行区2015-2016学年七年级（下）期末数学试卷（解析版）.doc

2015-2016学年上海市闵行区七年级（下）期末数学试卷 　 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1．下列计算正确的是（　　） A．﹣ =﹣3 B．（﹣）2=64 C． =±25 D． =3 2．下列数据中准确数是（　　） A．上海科技馆的建筑面积约98000平方米 B．“小巨人”姚明身高2.26米 C．我国的神州十号飞船有3个舱 D．截止去年年底中国国内生产总值（GDP）676708亿元 3．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同旁内角是（　　） A．∠3 B．∠4 C．∠5 D．∠6 4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　） A．8或10 B．8 C．10 D．6或12 5．如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 6．象棋在中国有着三千多年的历史，是趣味性很强的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（﹣2，﹣1）和（3，1），那么表示棋子“将”的点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（1，0） C．（0，1） D．（2，2） 　 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．计算： =　　． 8．（﹣8）2的六次方根为　　． 9．在π（圆周率）、﹣1.5、、、0. 五个数中，无理数是　　． 10．计算：（﹣）×÷2=　　（结果保留三个有效数字）． 11．在数轴上，实数2﹣对应的点在原点的　　侧．（填“左”、“右”） 12．已知点P（﹣1，a）与点Q（b，4）关于x轴对称，那么a+b=　　． 13．已知点M在第二象限，它到x轴、y轴的距离分别为2个单位和3个单位，那么点M的坐标是　　． 14．如图，已知直线a∥b，将一块三角板的直角顶点放在直线a上，如果∠1=42°，那么∠2=　　度． 15．如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E的度数为　　． 16．如图，在△ABC和△DEF中，已知CB=DF，∠C=∠D，要使△ABC≌△EFD，还需添加一个条件，那么这个条件可以是　　． 17．如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点O作OE∥AB，OF∥AC，交边BC于点E、F，如果BC=10，那么C△OEF等于　　． 18．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，把△ABC绕着点A逆时针旋转到△AB'C'，联结CC'，并且使CC'∥AB，那么旋转角的度数为　　度． 　 三、计算题，写出计算过程（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19．计算： +﹣． 20．计算：（﹣）2﹣（+）2． 21．计算：﹣3÷（）（结果表示为含幂的形式）． 22．解方程：（）3=﹣512． 　 四、解答题（本大题共5题，满分40分，其中第23、24每题6分，第25、26每题8分，第27题12分） 23．阅读并填空：如图，在△ABC中，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，且DP∥AC，PE∥AB．试说明∠DPE=∠BAC的理由． 解：因为DP∥AC（已知）， 所以∠　　=∠　　（　　）． 因为PE∥AB（已知）， 所以∠　　=∠　　（　　） 所以∠DPE=∠BAC（等量代换）． 24．如图，上午10时，一艘船从A出发以20海里/时的速度向正北方向航行，11时45分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，求B处到达塔C的距离． 25．如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B与点（﹣3，﹣1）关于原点O对称；将点A向下平移5个单位到达点C． （1）写出A，B，C三点的坐标，并画出△ABC； （2）判断△ABC的形状，并求出它的面积； （3）过点B作直线BD平行于y轴，并且B、D两点的距离为3个单位，描出点D，并写出点D的坐标． 26．如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC．试判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 27．（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线． 试说明∠D=90°+∠A的理由． 解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠1=　　（角平分线定义）． 同理：∠2=　　． 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，（　　）， 所以　　（等式性质）． 即：∠D=90°+∠A． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： （i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　　． （ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　　． （3）如图④，△ABC中，∠A=90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC=CF的理由． 　 2015-2016学年上海市闵行区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1．下列计算正确的是（　　） A．﹣ =﹣3 B．（﹣）2=64 C． =±25 D． =3 【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简． 【专题】计算题；实数． 【分析】原式各项利用二次根式性质及乘除法则计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=﹣|﹣3|=﹣3，正确； B、原式=8，错误； C、原式=|﹣25|=25，错误； D、原式==，错误， 故选A 【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 2．下列数据中准确数是（　　） A．上海科技馆的建筑面积约98000平方米 B．“小巨人”姚明身高2.26米 C．我国的神州十号飞船有3个舱 D．截止去年年底中国国内生产总值（GDP）676708亿元 【考点】近似数和有效数字． 【分析】根据精确数与近似数的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A、上海科技馆的建筑面积约98000平方米，98000为近似数，所以A选项错误； B、“小巨人”姚明身高2.26米，2.26为近似数，所以B选项错误； C、我国的神州十号飞船有3个舱，3为准确数，所以C选项正确； D、截止去年年底中国国内生产总值（GDP）676708亿元，676708为近似数，所以D选项错误． 故选C． 【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字． 　 3．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同旁内角是（　　） A．∠3 B．∠4 C．∠5 D．∠6 【考点】同位角、内错角、同旁内角． 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【解答】解：∵直线a、b被直线c所截， ∴∠1的同旁内角是∠4． 故选（B） 【点评】本题主要考查了同旁内角的概念，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定． 　 4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　） A．8或10 B．8 C．10 D．6或12 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解． 【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ∵2+2=4， ∴不能组成三角形， ②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4， 能组成三角形， 周长=2+4+4=10， 综上所述，它的周长是10． 故选C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定． 　 5．如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【考点】等边三角形的性质． 【分析】由等边三角形的性质和平角的定义以及三角形内角和定理即可得出结果． 【解答】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形， ∴∠GMN=∠MGN=∠DEF=60°， ∵∠1+∠GMN+∠GME=180°，∠2+∠MGN+∠EGM=180°，∠3+∠DEF+∠MEG=180°， ∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG=3×180°， ∵∠GME+∠EGM+∠MEG=180°， ∴∠1+∠2+∠3=3×180°﹣180°﹣3×60°=180°； 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、平角的定义；熟练掌握等边三角形的性质和三角形内角和定理是解决问题的关键． 　 6．象棋在中国有着三千多年的历史，是趣味性很强的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（﹣2，﹣1）和（3，1），那么表示棋子“将”的点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（1，0） C．（0，1） D．（2，2） 【考点】坐标确定位置． 【分析】直接利用已知点的坐标确定原点的位置，进而得出棋子“将”的点的坐标． 【解答】解：如图所示：由题意可得，“帅”的位置为原点位置， 则棋子“将”的点的坐标为：（1，0）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 　 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．计算： =　3　． 【考点】分数指数幂． 【专题】计算题． 【分析】利用=（a≥0）进行计算即可． 【解答】解： ==3， 故答案是3． 【点评】本题考查了分数指数幂．解题的关键是知道开方和分数指数幂之间的关系． 　 8．（﹣8）2的六次方根为　±2　． 【考点】分数指数幂． 【分析】根据分数指数幂，即可解答． 【解答】解：± =±=±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查了分数指数幂，解决本题的关键是熟记分数指数幂． 　 9．在π（圆周率）、﹣1.5、、、0. 五个数中，无理数是　π、　． 【考点】无理数． 【分析】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根（2）特定结构的无限不循环小数（3）含有π的绝大部分数，如2π． 【解答】解：在π（圆周率）是无理数，﹣1.5是有理数，是分数，是有理数，是无理数，0. 无限循环小数是有理数． 故答案为：π、． 【点评】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数的常见类型是解题的关键． 　 10．计算：（﹣）×÷2=　﹣0.242　（结果保留三个有效数字）． 【考点】二次根式的乘除法；近似数和有效数字． 【专题】计算题；实数． 【分析】原式利用二次根式的乘除法则计算，取其近似值即可． 【解答】解：原式=﹣××=﹣≈﹣0.242， 故答案为：﹣0.242 【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 11．在数轴上，实数2﹣对应的点在原点的　左　侧．（填“左”、“右”） 【考点】实数与数轴． 【分析】根据2＜＜3，可知2﹣＜0，所以2﹣在原点的左侧． 【解答】解：根据题意可知：2﹣＜0， ∴2﹣对应的点在原点的左侧． 故填：左 【点评】本题考查实数与数轴上点的对应关系，掌握了实数与数轴上的点的一一对应关系，很容易得出正确答案． 　 12．已知点P（﹣1，a）与点Q（b，4）关于x轴对称，那么a+b=　﹣5　． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【解答】解：∵点P（﹣1，a）与点Q（b，4）关于x轴对称， ∴b=﹣1，a=﹣4， ∴a+b=﹣1+（﹣4）=﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，解决本题的关键是熟记关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数． 　 13．已知点M在第二象限，它到x轴、y轴的距离分别为2个单位和3个单位，那么点M的坐标是　（﹣3，2）　． 【考点】点的坐标． 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【解答】解：∵点M在第二象限，到x轴、y轴的距离分别为2个单位和3个单位， ∴点M的横坐标是﹣3，纵坐标是2， ∴点M的坐标是（﹣3，2）． 故答案为：（﹣3，2）． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 　 14．如图，已知直线a∥b，将一块三角板的直角顶点放在直线a上，如果∠1=42°，那么∠2=　48　度． 【考点】平行线的性质． 【分析】由平行可得∠2=∠3，又结合直角定义可得出∠3+∠1=90°，可求得答案． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠2=∠3， ∵∠1+∠3=90°， ∴∠3=90°﹣∠1=48°， ∴∠2=48°， 故答案为：48； 【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行． 　 15．如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E的度数为　29°　． 【考点】平行线的性质；三角形的外角性质． 【分析】根据AB∥CD，求出∠DFE=56°，再根据三角形外角的定义性质求出∠E的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠DFE=∠A=56°， 又∵∠C=27°， ∴∠E=56°﹣27°=29°， 故答案为29°． 【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角的性质，找到相应的平行线是解题的关键． 　 16．如图，在△ABC和△DEF中，已知CB=DF，∠C=∠D，要使△ABC≌△EFD，还需添加一个条件，那么这个条件可以是　AC=ED或∠A=∠FED或∠ABC=∠F　． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】要使△ABC≌△EFD，已知CB=DF，∠C=∠D，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可． 【解答】解：要使△ABC≌△EFD，已知CB=DF，∠C=∠D， 则可以添加AC=ED，运用SAS来判定其全等； 也可添加一组角∠A=∠FED或∠ABC=∠F运用AAS来判定其全等． 故答案为：AC=ED或∠A=∠FED或∠ABC=∠F． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健． 　 17．如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点O作OE∥AB，OF∥AC，交边BC于点E、F，如果BC=10，那么C△OEF等于　10　． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 【分析】由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，OE∥AB、OF∥AC，可推出BE=EO，OF=FC，显然△OEF的周长即为BC的长度． 【解答】解：OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线 ∴∠ABO=∠OBF，∠ACO=∠OCF ∵OE∥AB，OF∥AC ∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF ∴△BOE和△OCF为等腰三角形 ∴BE=EO，OF=FC ∴△OEF的周长=OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC=10． 故答案为：10 【点评】此题主要考查了平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的性质，难度中等．解题的关键是判定△BOE与△COF是等腰三角形． 　 18．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，把△ABC绕着点A逆时针旋转到△AB'C'，联结CC'，并且使CC'∥AB，那么旋转角的度数为　50　度． 【考点】旋转的性质． 【专题】计算题． 【分析】先画出几何图形，再根据旋转的性质得旋转角等于∠CAC′，AC=AC′，接着根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=65°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠CAC′的度数． 【解答】解：如图， ∵△ABC绕着点A逆时针旋转到△AB'C'， ∴旋转角等于∠CAC′，AC=AC′， ∴∠ACC′=∠AC′C， ∵CC'∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=65°， ∴∠CAC′=180°﹣65°﹣65°=50°． 故答案为50． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是画出几何图形和判断△ACC′为等腰三角形． 　 三、计算题，写出计算过程（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19．计算： +﹣． 【考点】二次根式的加减法． 【分析】依据二次根据加减法则计算即可． 【解答】解：原式=（+﹣）×=． 【点评】本题主要考查的是二次根式的加减，掌握二次根式的加减法则是解题的关键． 　 20．计算：（﹣）2﹣（+）2． 【考点】二次根式的混合运算． 【分析】先进行完全平方公式的运算，然后合并． 【解答】解：原式=3﹣2+2﹣3﹣2﹣2 =﹣4． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握完全平方公式以及二次根式的合并． 　 21．计算：﹣3÷（）（结果表示为含幂的形式）． 【考点】分数指数幂． 【分析】先算幂的乘方，再根据分数指数幂的乘法法则计算即可求解． 【解答】解：﹣÷（） =﹣÷ =﹣÷32 =﹣ =﹣． 【点评】考查了分数指数幂，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 　 22．解方程：（）3=﹣512． 【考点】立方根． 【分析】利用立方根定义求出解即可． 【解答】解：（）3=﹣512， =﹣8， x=﹣32． 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 　 四、解答题（本大题共5题，满分40分，其中第23、24每题6分，第25、26每题8分，第27题12分） 23．阅读并填空：如图，在△ABC中，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，且DP∥AC，PE∥AB．试说明∠DPE=∠BAC的理由． 解：因为DP∥AC（已知）， 所以∠　BDP　=∠　BAC　（　两直线平行，同位角相等　）． 因为PE∥AB（已知）， 所以∠　DPE　=∠　BDP　（　两直线平行，内错角相等　） 所以∠DPE=∠BAC（等量代换）． 【考点】平行线的性质． 【分析】先根据DP∥AC得出∠BDP=∠BAC，再由PE∥AB得出∠DPE=∠BDP，利用等量代换即可得出结论． 【解答】解：因为DP∥AC（已知）， 所以∠BDP=∠BAC（两直线平行，同位角相等）． 因为PE∥AB（已知）， 所以∠DPE=∠BDP（两直线平行，内错角相等）， 所以∠DPE=∠BAC（等量代换）． 故答案为：BDP，BAC，两直线平行，同位角相等；DPE，BDP，两直线平行，内错角相等． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 　 24．如图，上午10时，一艘船从A出发以20海里/时的速度向正北方向航行，11时45分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，求B处到达塔C的距离． 【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角． 【专题】应用题． 【分析】根据所给的角的度数，容易证得△BCA是等腰三角形，而AB的长易求，所以根据等腰三角形的性质，BC的值也可以求出． 【解答】解：据题意得，∠A=26°，∠DBC=52°， ∵∠DBC=∠A+∠C， ∴∠A=∠C=26°， ∴AB=BC， ∵AB=20×=35， ∴BC=35（海里）． ∴B处到达塔C的距离是35海里． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题；由已知得到三角形是等腰三角形是正确解答本题的关键．要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识进行解决实际问题的方法． 　 25．如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B与点（﹣3，﹣1）关于原点O对称；将点A向下平移5个单位到达点C． （1）写出A，B，C三点的坐标，并画出△ABC； （2）判断△ABC的形状，并求出它的面积； （3）过点B作直线BD平行于y轴，并且B、D两点的距离为3个单位，描出点D，并写出点D的坐标． 【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【分析】（1）根据题意分别得出B，C点坐标，即可得出△ABC； （2）利用已知图形得出△ABC的形状以及三角形面积； （3）利用B点坐标以及BD的长即可得出符合题意的图形． 【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（3，1），C（﹣2，﹣4）， 所以△ABC即为所求作的三角形． （2）由题意可得：AB=|3﹣（﹣2）|=5，AC=|1﹣（﹣4）|=5， ∵AB=AC=5，且∠A=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， 因此S△ABC=•AB•AC=×5×5=； （3）如图，点D的坐标为：（3，4）或（3，﹣2）． 【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出平面内线段长是解题关键． 　 26．如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC．试判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】计算题；证明题；图形的全等． 【分析】AC与BD垂直，理由为：由AB=AD，利用等边对等角得到一对角相等，利用等式性质得到∠BDC=∠DBC，利用等角对等边得到DC=BC，利用SSS得到三角形ABC与三角形ADC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠DAC=∠BAC，再利用三线合一即可得证． 【解答】解：AC⊥BD，理由为： ∵AB=AD（已知）， ∴∠ADB=∠ABD（等边对等角）， ∵∠ABC=∠ADC（已知）， ∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB（等式性质），即∠BDC=∠DBC， ∴DC=BC（等角对等边）， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC（全等三角形的对应角相等）， 又∵AB=AD， ∴AC⊥BD（等腰三角形三线合一）． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 　 27．（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线． 试说明∠D=90°+∠A的理由． 解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠1=　∠ABC　（角平分线定义）． 同理：∠2=　∠ACB　． 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，（　三角形的内角和等于180°　）， 所以　∠D=180°﹣（∠ABC+∠ACB）　（等式性质）． 即：∠D=90°+∠A． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： （i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　∠D=90°﹣∠A　． （ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　∠D=∠A　． （3）如图④，△ABC中，∠A=90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC=CF的理由． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【专题】推理填空题． 【分析】（1）、（2）、（3）关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于180°”及等式的性质分析求解． （4）利用前三个小题的结论，证明∠D=∠DFC即可． 【解答】（1）解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠1=∠ABC （角平分线定义）． 同理：∠2=∠ACB． 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°（三角形的内角和等于180°）， 所以∠D=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（∠ABC+∠ACB） =180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A（等式性质）． 即：∠D=90°+∠A． （2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D=90°﹣∠A． 理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线， ∴∠EBD=∠DBC，∠BCD=∠DCF， ∴∠DBC+∠DCB+∠D=180°， ∴∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 而∠ABC=180°﹣2∠DBC， ∠ACB=180°﹣2∠DCB， ∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB=180°， ∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）=﹣180°， ∴∠A﹣2（180°﹣∠D）=﹣180°， ∴∠A﹣2∠D=180°， ∴∠D=90°﹣ （ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D=∠A． 理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线， ∴∠DCE=∠DBC+∠D， ∵∠A+2∠DBC=2∠DCE ∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D ∴∠A=2∠D 即：∠D= （3）解：因为 BD平分∠ABC（已知）， 所以∠DBC=∠ABC（角平分线定义）． 同理：∠ACF=∠ACB，∠DCA=∠DCE=∠ACE． ∵∠ACE=∠ABC+∠A，∠DCE=∠DBC+∠D（三角形的一个外角 等于两个不相邻的内角和）， ∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=（∠ACE﹣∠ABC）=∠A． 又∵∠A=90°（已知）， ∴∠D=45°（等式性质）． ∵∠ACB+∠ACE=180°（平角的定义）， ∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=（∠BCA+∠ACE）=90°． ∵∠D+∠DFC+∠FCD=180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠DFC=45°（等式性质）． ∴∠D=∠DFC（等量代换）． ∴DC=FC．（等角对等边）． 【点评】本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 　 第23页（共23页）