第24课时 直角三角形和勾股定理.doc

第24课时　直角三角形和勾股定理 (60分) 一、选择题(每题5分，共25分) 1．[2015·毕节]下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 (B) A.，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4 2．如图24－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是 (A) A. B. C. D. 【解析】　在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，根据勾股定理得AB＝＝15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝＝＝，则点C到AB的距离是.故选A. 图24－1 　　第2题答图 图24－2 3．[2014·甘孜]如图24－2，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为 (D) A．1 B．2 C．3 D．4 4．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图24－3，则三角板最长边的长为 (D) A．3 cm B．6 cm C．3 cm D．6 cm 图24－3 　　　第4题答图 【解析】　如答图，过点C作CD⊥AD于点D， ∴CD＝3.在直角三角形ADC中， ∵∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD＝2×3＝6. 又∵三角板是有45°角的三角板， ∴AB＝AC＝6， ∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72， ∴BC＝6，故选D. 5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图24－4那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是 (C) A. B. C. D. 图24－4 【解析】　在Rt△BCE中，设CE＝x，则BE＝EA＝8－x，根据勾股定理有(8－x)2＝x2＋62，解得x＝， ∴tan∠CBE＝＝＝. 二、填空题(每题5分，共25分) 6．[2015·内江]在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝__6__. 7．[2014·凉山]已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__5或__. 图24－5 8．将一副三角尺按图24－5所示叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是____cm2. 【解析】　∵∠B＝30°， ∴AC＝AB＝7 cm， 易证AC＝CF， ∴S△ACF＝AC·CF＝AC2＝×72＝(cm2)． 图24－6 9．[2014·无锡]如图24－6，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__8__. 【解析】　∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE＝5， ∴DE＝AC＝5， ∴AC＝10. 在直角△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，则根据勾股定理，得 CD＝＝＝8. 10．[2015·遵义]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图24－7①)．图24－7②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝__12__. 图24－7 【解析】　∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ∴CG＝NF，CF＝DG＝KF， ∴S1＝(CG＋DG)2 ＝CG2＋DG2＋2CG·DG ＝GF2＋2CG·DG， S2＝GF2， S3＝(KF－NF)2＝KF2＋NF2－2NF·KF＝GF2－2CG·DG， ∴S1＋S2＋S3＝GF2＋2CG·DG＋GF2＋GF2－ 2CG·DG＝3GF2＝12. 图24－8 三、解答题(共20分) 11．(10分)如图24－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5 cm，求AB的长． 【解析】　要求的AB在Rt△ABC中，∠A＝30°，故只需求BC的长，在Rt△BCD中，DC＝5 cm，∠DBC＝∠ABC＝30°，故可求出BD，BC的长，从而根据AB＝2BC计算出结果． 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC，∠ABC＝60°. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°. ∵在Rt△CBD中，CD＝5 cm， ∴BD＝10 cm， ∴BC＝5 cm， 图24－9 ∴AB＝2BC＝10 cm. 12．(10分)如图24－9，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3. (1)求DE的长； (2)求△ADB的面积． 解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴DE＝CD，又∵CD＝3， ∴DE＝3； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝＝10， ∴S△ADB＝AB·DE＝×10×3＝15. (20分) 13．(6分)[2014·荆门]如图24－10，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 (A) A．4 dm B．2 dm C．2 dm D．4 dm 图24－10 　　　第13题答图 【解析】　如答图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm， ∴AB＝2 dm，BC＝BC′＝2 dm， ∴AC2＝22＋22＝4＋4＝8， ∴AC＝2， ∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4 dm. 14．(6分)[2015·台州]如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A) A．8 cm B．5 cm C．5.5 cm D．1 cm 【解析】　易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为＝≈7.8，故折痕长不可能为8 cm. 15．(8分)[2015·铜仁]如图24－11，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为 (B) A．3 B. C．5 D. 【解析】　设ED＝x， 则AE＝6－x； ∵四边形ABCD为矩形， 图24－11 ∴AD∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， 由题意得∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴EB＝ED＝x， 由勾股定理得 BE2＝AB2＋AE2， 即x2＝32＋(6－x)2，解得x＝， ∴ED＝. (10分) 图24－12 16．(10分)[2015·潍坊]如图24－12，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则__Sn＝·__.(用含n的式子表示) 【解析】　∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC， ∴BB1＝1，AB＝2， 根据勾股定理得AB1＝， ∴S1＝××()2 ＝·； ∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1， ∴B1B2＝，AB1＝， 根据勾股定理得AB2＝， ∴S2＝××＝·； … 以此类推，Sn＝·.