第18课时 二次函数的应用.doc

第18课时　二次函数的应用 (60分) 一、选择题(每题6分，共12分) 1．[2015·铜仁]河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图18－1所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为 (C) 图18－1 A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m 【解析】　根据题意B的纵坐标为－4，把y＝－4代入y＝－x2，得x＝±10， ∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB＝20 m．即水面宽度AB为20 m. 2．[2015·金华]图18－2②是图18－2①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10 m，则桥面离水面的高度AC为(B) A．16 m B. m C．16 m D. m 图18－2 【解析】　∵AC⊥x轴，OA＝10 m， ∴点C的横坐标为－10， 当x＝－10时，y＝－(x－80)2＋16＝－(－10－80)2＋16＝－， ∴C，∴桥面离水面的高度AC为 m. 二、填空题(每题6分，共18分) 3．[2014·咸宁]科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度T/℃ －4 －2 0 1 4 植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想，推测出l与T之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__－1__℃. 【解析】　设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，选(0，49)，(1，46)， (4，25)代入后得方程组 解得 所以y与x之间的二次函数解析式为y＝－x2－2x＋49， 当x＝－＝－1时，y有最大值50， 即说明最适合这种植物生长的温度是－1℃. 图18－3 4．[2015·温州]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图18－3所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为__75__m2. 【解析】　设垂直于墙的材料长为x m，则平行于墙的材料长为27＋3－3x＝30－3x， 则总面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x＝－3(x－5)2＋75，故饲养室的最大面积为75 m2. 图18－4 5．如图18－4，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过__3__s，四边形APQC的面积最小． 【解析】　S四边形APQC＝×12×24－(12－2t)×4t＝4t2－24t＋144， ∴当t＝－＝－＝3时，S四边形APQC最小． 三、解答题(共30分) 6．(15分)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30 m的篱笆围成．已知墙长为18 m(如图18－5)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m. (1)若平行于墙的一边的长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围； (2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值； (3)当这个苗圃园的面积不小于88 m2时，试结合函数的图象，直接写出x的取值范围． 图18－5 【解析】　(1)用x表示y；(2)由矩形面积公式列关系式求最值；(3)令y＝88，求x的值，根据图象写出符合要求的x的取值范围． 解：(1)y＝30－2x(6≤x＜15)； (2)设矩形苗圃园的面积为S，则 S＝xy＝x(30－2x)＝－2x2＋30x＝－2(x－7.5)2＋112.5，由(1)知6≤x＜15； ∴当x＝7.5时，S最大＝112.5， 即当矩形苗圃园垂直于墙的一边长为7.5 m时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 m2； (3)图象略.6≤x≤11. 7．(15分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图18－6所示的关系． 图18－6 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由所给函数图象经过点(130，50)，(150，30)，得 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋180； (2)w＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140)2＋1 600， 当售价x定为140元/件时，w最大＝1 600元， ∴当售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1 600元． (25分) 8．(10分)[2014·天水]如图18－7，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m. 图18－7 (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2 m的A处发出，∴抛物线y＝a(x－6)2＋2.6过(0，2)点， ∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－， 故y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6； (2)当x＝9时，y＝－(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网； 当y＝0时，－(x－6)2＋2.6＝0， 解得x1＝6＋2＞18，x2＝6－2(舍去)， ∴球会出界； (3)由题意，抛物线y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)， 代入点(0，2)的坐标得a(0－6)2＋h＝2， 即36a＋h＝2且a＜0，∴a＝，且h＞2. 若球一定能越过球网，则当x＝9时，y≥2.43， 即9a＋h≥2.43，① 若球不出边界，则当x＝18时， y≤0，即144a＋h≤0，② 将a＝代入①②解得h≥. 故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h≥. 9．(15分)[2015·丽水]某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x(m)，与桌面的高度为y(m)，运动时间为t(s)，经过多次测试后，得到如下部分数据： t(s) 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 … x(m) 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 … y(m) 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 … (1)当t为何值时，乒乓球达到最大高度？ (2)乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？ (3)乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y＝a(x－3)2＋k. ①用含a的代数式表示k； ②球网高度为0.14 m，球桌长(1.4×2)m.若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值． 图18－8 解：以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系． (1)由表格中的数据，可得t＝0.4(s)． 答：当t为0.4 s时，乒乓球达到最大高度； (2)由表格中数据，可画出y关于x的图象，根据图象的形状，可判断y是x的二次函数，设y＝a(x－1)2＋0.45. 将(0，0.25)代入，可得a＝－0.2. ∴y＝－0.2(x－1)2＋0.45. 当y＝0时，x1＝，x2＝－(舍去)，即乒乓球与端点A的水平距离是 m； (3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为. 代入y＝a(x－3)2＋k，得a×＋k＝0，化简整理，得k＝－a； ②由题意，可知扣杀路线在直线y＝x上． 由①得y＝a(x－3)2－a. 令a(x－3)2－a＝x， 整理得20ax2－(120a＋2)x＋175a＝0. 当Δ＝(120a＋2)2－4×20a×175a＝0时符合题意． 解方程，得a1＝，a2＝. 当a1＝时，求得x＝－，不符合题意，舍去； 当a2＝时，求得x＝，符合题意． 答：当a＝时，能恰好将球沿直线扣杀到点A. (15分) 图18－9 10．(15分)[2015·南京]某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图18－9中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系． (1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式； (3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元； (2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x＋b1， ∵y1＝k1x＋b1的图象过点(0，60)与(90，42)， ∴ 解得 ∴这个一次函数的表达式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)； (3)设y2与x之间的函数关系式为y2＝k2x＋b2， ∵y2＝k2x＋b2的图象过点(0，120)与(130，42)． ∴ 解得 ∴这个一次函数的表达式为y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)， 设产量为x kg时，获得的利润为w元， 当0≤x≤90时，w＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2 250， ∴当x＝75时，w的值最大，最大值为2 250； 当90≤x≤130时，w＝x[(－0.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2 535， 当x＝90时，w＝－0.6(90－65)2＋2 535＝2 160， 由－0.6＜0知，当x＞65时，w随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，w≤2 160， 因此当该产品产量为75 kg时，获得的利润最大，最大利润为2 250元．