九年级数学下册 27.2.1 相似三角形的判定同步测试 （新版）新人教版_20200531233512.doc

相似三角形 27．2.1　相似三角形的判定 第1课时　平行线分线段成比例定理　[见B本P69] 1．如图27－2－1，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(　B　) A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【解析】 ∵a∥b∥c，∴＝，∴＝，∴DF＝4.5，∴BF＝BD＋DF＝7.5. 图27－2－1 图27－2－2 2．如图27－2－2，若l1∥l2，那么以下比例式中正确的是(　D　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 3．如图27－2－3，已知BD∥CE，则下列等式不成立的是(　A　) 图27－2－3 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 4. 如图27－2－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知AE＝6，＝，则EC的长是(　B　) 图27－2－4 A．4.5 B．8 C．10.5 D．14 【解析】 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． ∵DE∥BC，∴＝， ∵AE＝6，∴＝，解得EC＝8，则EC的长是8. 5．如图27－2－5所示，△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为(　B　) 图27－2－5 A．9 B．6 C．3 D．4 【解析】 ∵DE∥BC，∴＝.∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴＝，∴CE＝6，故选B. 6．如图27－2－6，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(　A　) 图27－2－6 A．AB2＝BC·BD B．AB2＝AC·BD C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AD·CD 【解析】 由△ABC∽△DBA可得对应边成比例，即＝，再根据比例的性质可知AB2＝BC·BD，故选A. 7．如图27－2－7，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则的值为(　B　) A. B. C. D. 图27－2－7 图27－2－8 8．如图27－2－8，已知DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是(　D　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【解析】 A正确，∵DE∥AB，DF∥BC， ∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF. ∵DF∥BC，∴＝，∴＝； B正确，∵DE∥AB，∴＝， 又DF∥BC，∴＝，∴＝； C正确，∵四边形DEBF是平行四边形， ∴DF＝BE. ∵DE∥AB，∴＝，∴＝； D不正确，∵DF∥BC，∴＝， 又DE∥AB，∴＝，∴＝， 又BE＝DF，∴＝. 9．如图27－2－9，已知AC∥DB，OA∶OB＝3∶5，OA＝9，CD＝32，则OB＝__15__，OD＝__20__． 【解析】 ∵＝，∴OB＝OA＝×9＝15. 设OD＝x，则OC＝32－x. ∵AC∥DB，∴＝，∴＝，解得x＝20. 图27－2－9 图27－2－10 10．如图27－2－10，已知l1∥l2∥l3，AM＝3 cm，BM＝5 cm，CM＝4.5 cm，EF＝12 cm，则DM＝__7.5__cm，EK＝__4.5__cm，FK＝__7.5__cm. 【解析】 ∵l1∥l2∥l3，∴＝， ∴＝，∴DM＝7.5 cm. ∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝， ∴EK＝4.5 cm， ∴FK＝EF－EK＝12－4.5＝7.5(cm)． 11. 如图27－2－11，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB ＝ 3∶5，那么CF∶CB等于(　A　) 图27－2－11 A. 5∶8 B．3∶8 C. 3∶5 D．2∶5 【解析】 ∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8， ∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8， ∵EF∥AB， ∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8. 12．如图27－2－12，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(　C　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 图27－2－12 图27－2－13 13．如图27－2－13，已知FG∥BC，AE∥GH∥CD，求证：＝. 【解析】 观察图形，我们会发现AE∥GH∥CD，具备了平行线分线段成比例定理的基本图形，可推得＝；由FG∥BC，知它具备了定理推论中的“A”型的基本图形，可推得＝，从而可证得＝. 证明：∵AE∥GH∥CD，∴＝. ∵FG∥BC，∴＝，∴＝. 14．如图27－2－14，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：＝. 证明：∵AB∥MN，∴＝， 又∵BC∥NG，∴＝，∴＝. 图27－2－14 图27－2－15 15．如图27－2－15，▱ABCD中，E在CD延长线上，BE交AD于F.若AB＝3，BC＝4，DF＝1，求DE的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD＝BC. ∵AB∥DC，AD∥BC， ∴＝＝， ∴＝， 又∵AF＝AD－DF＝BC－DF＝3， ∴＝，∴DE＝1. 16．如图27－2－16，已知AD是△ABC的角平分线，CE∥AD交BA的延长线于点E. 求证：＝. 图27－2－16 证明：∵AD∥CE，∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE. 又∵∠BAD＝∠DAC， ∴∠E＝∠ACE， ∴AE＝AC. 又∵CE∥AD， ∴＝，∴＝. 第2课时　相似三角形判定定理1、2　[见A本P71] 1．如图27－2－17，在△ABC中，DE∥BC，若＝，DE＝4 cm，则BC的长为(　B　) 图27－2－17 A．8 cm B．12 cm C．11 cm D．10 cm 【解析】 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∴＝. ∵＝，∴＝，∴＝， ∴BC＝12 cm，选择B. 2. 能说明△ABC∽△A′B′C′的条件是(　D　) A.＝≠ B.＝，∠A＝∠C′ C.＝，且∠B＝∠A′ D.＝，且∠B＝∠B′ 3．如图27－2－18，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(　B　) 图27－2－18 A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【解析】 两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如图27－2－19，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确的有(　A　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【解析】 点D，E分别是AB，AC的中点，所以由中位线定理得DE∥BC，且DE＝BC，①正确；因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，②正确；由②得＝，③正确．故选A. 图27－2－19 图27－2－20 5．如图27－2－20，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是(　B　) A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC 【解析】 ∵DC∥AB，∴△DCE∽△AFE， ∴＝，故结论B错误． ∵AE∥BC，∴△FAE∽△FBC， ∴＝，即＝，∴＝， ∴＝，即FA∶AB＝FE∶EC，故结论C正确．而A，D显然正确，∴应选B. 6．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，DC＝AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若△ADE与△ABC相似，则DE长为__6或8__． 【解析】 (1)当△AED∽△ABC时，此时图形为(a)，可得DE＝6；(2)当△AED∽△ACB时，此时图形为(b)，可得DE＝8. 7．如图27－2－21，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.(1)求的值；(2)求BC. 图27－2－21 解：(1)∵AD＝4，DB＝8， ∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12， ∴＝＝. (2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝. ∵DE＝3，∴＝，∴BC＝9. 8．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF. 图27－2－22 【解析】 利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF. 解：∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8， ∴＝＝＝， ∴△ABC∽△DEF. 9．如图27－2－23，D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点． 图27－2－23 (1)求证：△DEF∽△ABC； (2)图中还有哪几个三角形与△ABC相似？ 解：(1)证明：∵D，F分别是△ABC的边BC，BA的中点， ∴DF＝AC， 同理EF＝CB，DE＝AB， 则＝＝， ∴△DEF∽△ABC； (2)∵E，F分别是△ABC的三边CA，AB的中点， ∴EF∥BC， ∴△AFE∽△ABC. 同理，△FBD∽△ABC，△EDC∽△ABC. ∴图中与△ABC相似的三角形还有△AFE，△FBD，△EDC. 10．如图27－2－24，△ABC是等边三角形，D，E在BC边所在的直线上，且AB·AC＝BD·CE. 求证：△ABD∽△ECA. 图27－2－24 证明：∵△ABC是等边三角形(已知)， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD＝∠ACE(等角的补角相等)． 又AB·AC＝BD·CE(已知)，即＝， ∴△ABD∽△ECA(两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)． 11．如图27－2－25，已知正方形ABCD中，F为BC上一点，且BF＝3FC，E为DC的中点．求证：△ADE∽△ECF. 图27－2－25 证明：∵正方形ABCD中，E为CD中点， ∴CE＝ED＝CD＝AD. ∵BF＝3FC， ∴FC＝BC＝AD＝CE. ∴＝＝，即＝. ∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ADE∽△ECF. 12．如图27－2－26，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝AE·AC，请在图中找出与∠ADE相等的角，并说明理由． 图27－2－26 【解析】 由AB·AD＝AE·AC得＝，如果证得它们的夹角相等，就可得到三角形相似，于是就有与∠ADE相等的角． 解：∠C＝∠ADE，理由如下： ∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAC. ∵AB·AD＝AE·AC， ∴＝，∴△ABC∽△AED， ∴∠ADE＝∠C. 13. 如图27－2－27，∠AOB＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由． 图27－2－27 解：△ABC∽△DBA. 理由如下：设OA＝OB＝BC＝CD＝x， 根据勾股定理，AB＝＝x， AC＝＝x， AD＝＝x， ∵＝＝，＝＝，＝＝， ∴＝＝， ∴△ABC∽△DBA. 第3课时　相似三角形判定定理3　[见B本P71] 1．已知如图27－2－28(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(　A　) 图27－2－28 A．都相似 B．都不相似 C．只有(1)相似 D．只有(2)相似 【解析】 两角对应相等，或者两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似． 2．△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF不相似的是(　C　) A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108° B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8， DF＝16 C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝ D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40° 3．如图27－2－29，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为(　C　) 图27－2－29 A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB＝＝＝10.在△ADE和△ABC中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴AD＝5. 4．如图27－2－30所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 图中△ABC与△ACD有一组公共角，根据相似三角形的判定方法，可再补充另一组对应角相等，①②符合条件；或补充夹公共角的两边对应成比例，④符合条件，所以补充①②④能判定△ABC∽△ACD. 图27－2－30 图27－2－31 5．如图27－2－31，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，则AD的长为____． 6. [2013·安顺]如图27－2－32，在▱ABCD中，点E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝__3∶5__． 图27－2－32 图27－2－33 7．如图27－2－33，∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ADE∽△ACB：__∠D＝∠C或∠E＝∠B或＝__． 【解析】 由∠1＝∠2可得∠DAE＝∠CAB.只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB. 8. [2013·六盘水]如图27－2－34，添加一个条件：__∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝__，使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可) 【解析】 由题意得，∠A＝∠A(公共角)， 则可添加：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，利用两角法可判定△ADE∽△ACB，添加＝也可以． 图27－2－34 　　　 图27－2－35 9. 如图27－2－35，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE. 证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBE. 10．如图27－2－36，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q. (1)求证：△DQP∽△CBP； (2)当△DQP≌△CBP，且AB＝8时，求DP的长． 图27－2－36 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AQ∥BC，∴∠Q＝∠PBC，∠PDQ＝∠C， ∴△DQP∽△CBP； (2)∵△DQP≌△CBP， ∴DP＝CP＝CD.∵AB＝CD＝8，∴DP＝4. 图27－2－37 11.如图27－2－37所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝(　D　) A．1∶4　　B．1∶3　　C．2∶3　　D．1∶2 【解析】 在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴＝， ∵O为对角线的交点，∴DO＝BO， 又∵E为OD的中点，∴DE＝DB， 则DE∶EB＝1∶3，∴DF∶AB＝1∶3， ∵DC＝AB，∴DF∶DC＝1∶3，∴DF∶FC＝1∶2. 图27－2－38 12．如图27－2－38，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长等于(　B　) A. 　　　B. C. 　　　D. 【解析】∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E， ∴△ADC∽△BDE，∴＝， ∵AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3， ∴BD＝5，DC＝3， ∴DE＝＝. 故选B. 13．如图27－2－39，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB. 图27－2－39 第13题答图 解：(1)证明：∵∠A与∠B是所对的圆周角， ∴∠A＝∠B， 又∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE； (2)证明：如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝， 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD， ∴∠AED＝∠ADC， 又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°， 即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB. 14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点(不与点A，B，G重合)，直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r. (1)如图(1)，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2； 图27－2－40 (2)当点E在AB(或BA)的延长线上时，以图(2)中点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由． 解：(1)证明：如图(1)，连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ. ∵FQ是⊙O的直径，∴∠FDQ＝90°， ∴∠QFD＋∠Q＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°. ∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P. ∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF， ∴＝，∴OE·OP＝OF2＝r2. 图(1) 图(2) (2)(1)中的结论成立． 理由：如图(2)，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM. ∵FM是⊙O的直径，∴∠FCM＝90°， ∴∠M＋∠CFM＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°. ∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E. ∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE， ∴＝，∴OE·OP＝OF2＝r2.