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单元滚动检测卷(八) 【测试范围：第十一单元　时间：100分钟　分值：100分】 一、选择题(每题5分，共30分) 图1 1．[2017·湖州]如图1，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是 (　A　) A. B. C. D. 2．计算sin45°的结果等于 (　B　) A. B．1 C. D. 【解析】 sin45°＝×＝1. 3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为 (　B　) A. B. C. D. 4．如图2，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC＝2，BC＝1，那么 sin∠ABD的值是 (　A　) 　图2 A. B. C. D．2 【解析】 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，AB＝＝3. ∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝＝. 图3 5．如图3，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 m，则鱼竿转过的角度是 (　C　) A．60° B．45° C．15° D．90° 【解析】 ∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°.∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.故选C. 6．如图4，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE＝2，则tan∠DBE的值为 (　B　) 图4 A. B．2 C. D. 【解析】 设菱形ABCD边长为t.∵BE＝2，∴AE＝t－2.∵cosA＝，∴＝，∴＝，∴t＝5，∴AE＝5－2＝3，∴DE＝＝＝4，∴tan∠DBE＝＝＝2. 二、填空题(每题5分，共30分) 7．如图5，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝____． 图5 　　第7题答图 【解析】 如答图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.设小正方形的边长为1，在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝2，∴sinA＝＝＝. 8．计算：2sin30°＋2cos60°＋3tan45°＝__5__． 9．[2017·广丰区一模]已知对任意锐角α，β均有：cos(α＋β)＝cosα·cosβ－ sinα·sinβ，则cos75°＝____. 【解析】 cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°·cos45°－sin30°·sin45°＝×－×＝. 10．[2016·杭州模拟]如图6，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为 __10－2__cm(用根式表示)． 图6 第10题答图 【解析】 如答图，过P作PM⊥AB于M. 在Rt△ABP中，PB＝AB·cos30°＝8×＝4， 　图7 在Rt△BPM中，PM＝PB·sin30°＝4 × ＝2 .故此时水杯中的水深为(10－2) cm. 11．如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝____． 【解析】 ∵BC＝6，sinA＝＝，∴AB＝10，∴AC＝＝8.∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝5.易证△ADE∽△ACB， ∴＝，即＝，解得DE＝. 图8 12．[2017·乐清模拟]如图8，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足AC＝DC＝DE＝BE＝1，则tanA＝__＋1__. 【解析】 设∠B＝x°，∵BE＝DE，∴∠B＝∠BDE＝x°， ∴∠CED＝2x°，又∵DE＝DC，∴∠ECD＝∠CED＝2x°. ∴∠DCA＝∠ACB－∠ECD＝90°－2x°.∵Rt△ABC中，∠A＝90°－∠B＝90°－x°.又∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝90°－x°.∵△ACD中，∠ACD＋∠A＋∠ADC＝180°，∴(90－2x°)＋2(90－x°)＝180°，解得x＝22.5，则∠CED＝∠ECD＝45°，∴△ECD是等腰直角三角形，∴EC＝ CD＝，∴BC＝ ＋1，∴tanA＝ ＝＋1. 三、解答题(共40分) 13．(5分)计算：－(3.14－π)0＋|1－|－2sin45°. 解：原式＝4－1＋－1－2×＝4－1＋－1－＝2. 14．(5分)为解决停车难的问题，在如图9一段长56 m的路段开辟停车位，每个车位是长5 m，宽2.2 m的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出多少个这样的停车位．(参考数据：≈1.4) 图9 　 　第14题答图 解：如答图，BC＝2.2×sin45°＝2.2×≈1.54(m)， CE＝5×sin45°＝5×≈3.5(m)， BE＝BC＋CE≈5.04(m)， EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷≈3.1(m)， (56－5.04)÷3.1＋1≈16＋1＝17(个)． 答：这个路段最多可以划出17个这样的停车位． 15．(8分)[2017·嵊州模拟]小州在堤边垂钓，如图10，钓竿OA的倾斜角α为60°，河堤AC的坡角β为45°，且AC＝2 m，AO＝4 m，钓竿AO与钓鱼线OB的夹角为60°，其中浮漂在点B处． (1)求点O到水面的垂直距离； (2)求浮漂B与河堤点C之间的距离． 图10 　　 第15题答图 解：(1)如答图，作OD⊥BC于D，AF⊥BC于F，AE⊥OD于E， ∵河堤AC的坡角β为45°， ∴AF＝CF＝AC·sin∠ACF＝， ∵钓竿OA的倾斜角α为60°， ∴OE＝OA·sin∠OAE＝2，AE＝2， 则OD＝OE＋DE＝OE＋AF＝2 ＋， 答：点O到水面的垂直距离为(2＋)m； (2)由题意得∠BOD＝30°，∴BD＝OD·tan30°＝＋2， ∴BC＝BD＋AE－CF＝＋4－. 答：浮漂B与河堤点C之间的距离为m. 16．(10分)[2017·余姚模拟]如图11，我国某艘海舰船沿正东方向由A向B例行巡航南海部分区域，在航线AB同一水平面上，有三座岛屿C，D，E.船在A处时，测得岛C在A处南偏东15°方向距离A处a(a＞0)海里，岛D在A处南偏东60°方向距离A处a海里，岛E在A处东南方向，当船航行到达B处时，此时测得岛E恰好在船的正南方． (1)请说明船航行的距离AB正好是岛E与B处的距离； (2)若岛D距离B处18海里，求岛C，E之间的距离． 图11 　　第16题答图 解：(1)如答图，连结AE， ∵岛E在A处东南方向， ∴∠BAE＝∠EAF＝45°， ∵E恰好在B的正南方， ∴∠ABE＝90°， ∴∠BEA＝45°，∴AB＝EB， ∴船航行的距离AB正好是岛E与B处的距离； (2)∵∠ABE＝90°，∠BAE＝45°， ∴sin∠BAE＝＝＝，∴＝， ∵∠CAF＝15°，∠DAF＝60°， ∴∠DAC＝∠DAF－∠CAF＝45°， ∴∠BAE－∠DAE＝∠DAC－∠DAE，即∠BAD＝∠EAC， ∴△BAD∽△EAC，∴＝＝， ∵BD＝18海里，∴CE＝18 海里． 17．(12分)如图12，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C. (1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若AC＝8，cos∠BED＝，求AD的长． 图12 解：(1)AC与⊙O相切． 证明：∵是∠BED与∠BAD所对的弧， ∴∠BAD＝∠BED， ∵OC⊥AD， ∴∠AOC＋∠BAD＝90°， ∴∠BED＋∠AOC＝90°， 又∵∠BED＝∠C，即∠C＋∠AOC＝90°， ∴∠OAC＝90°， ∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切； 第17题答图 (2)如答图，连结BD. ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△AOC中，∠CAO＝90°， ∵AC＝8，cosC＝cos∠BED＝， ∴＝，∴CO＝10，AO＝6，∴AB＝12， 在Rt△ABD中，∵cos∠BAD＝cos∠BED＝， ∴AD＝AB·cos∠BAD＝12×＝.