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15、三角形总复习 【知识精读】 1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理； 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3. 全等三角形的性质与判定； 4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）； 5. 直角三角形的性质与判定。 三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。 【分类解析】 1. 三角形内角和定理的应用 例1. 如图1，已知中，于D，E是AD上一点。 求证： 证明：由AD⊥BC于D，可得∠CAD＝∠ABC 又 则 可证 即 说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。 2. 三角形三边关系的应用 例2. 已知：如图2，在中，，AM是BC边的中线。 求证： 证明：延长AM到D，使MD＝AM，连接BD 在和中， 在中，，而 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得，然后通过倍长中线的方法，相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有。请同学们自己试着证明。 3. 角平分线定理的应用 例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 求证：AM平分DAB。 证明：过M作MG⊥AD于G，∵DM平分∠ADC，MC⊥DC，MG⊥AD ∴MC＝MG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等） ∵MC＝MB，∴MG＝MB 而MG⊥AD，MB⊥AB ∴M在∠ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） ∴DM平分∠ADC 说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 全等三角形的应用 （1）构造全等三角形解决问题 例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：的周长等于2。 分析：欲证的周长等于2，需证明它等于等边的两边的长，只需证。采用旋转构造全等的方法来解决。 证明：以点D为旋转中心，将顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M落在M'点的位置。 得：∠MBD＝∠NCD＝90° ∴∠NCD与∠DCM'构成平角，且BM＝CM'，DM＝DM'，∠NDM'＝∠NDC＋∠CDM'＝∠NDC＋∠BDM＝120°－60°＝60° 在和中， 的周长 说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。 （2）“全等三角形”在综合题中的应用 例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。 分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。 解：∵AC平分∠FAE，CF⊥AF，CE⊥AE ∴CF＝CE ∴BE＝DF 设，则 在中， 在中， 答：AC的长为17。 5、中考点拨 例1. 如图，在中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 分析：初看此题，看到DE＝DF＋FE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE，但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD＋CE＝9”，就应想一想，DF＋FE是否与BD＋CE相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DF＋FE也就是DE的长了。 解：∵BF是∠B的平分线 ∴∠DBF＝∠CBF 又DE∥BC ∴∠DFB＝∠CBF ∴∠BDF＝∠DFB ∴DF＝BD 同理，FE＝CE ∴DF＋FE＝BD＋CE＝9 即DE＝9 故选A 6、题型展示 例1. 已知：如图6，中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BD的延长线于E，。 求证：BD平分∠ABC 分析：要证∠ABD＝∠CBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。 简证：延长AE交BC的延长线于F 易证（ASA或AAS） 于是又不难证得 ∴BD平分∠BAC 说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。 例2. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？ 分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D为正内一点，P为正外一点，PB＝AB，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，求∠BPD＝？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。 解：连CD 又 ，即时，才能达到要求。 【实战模拟】 1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。 2. 在锐角中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。 3. 如图所示，D是的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC与∠B的大小关系。 4. 如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是AC中点，AE⊥BM。 求证：∠AMB＝∠CMD 5. 设三个正数a、b、c满足，求证：a、b、c一定是某个三角形三边的长。 【试题答案】 1. 5cm 2. 45° 3. 分析：如图所示，∠BAC是的外角，所以 因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2 又因为∠2是的外角，所以∠2＞∠B，问题得证。 答：∠BAC＞∠B ∵∠CD平分∠ACE，∴∠1＝∠2 ∵∠BAC＞∠1，∴∠BAC＞∠2 ∵∠2＞∠B，∴∠BAC＞∠B 4. 证明一：过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F 又∠BAC＝∠ACF＝90° AC＝AB 又AM＝MC，∴MC＝CF 又∠3＝∠4＝45°，CD＝CD 证明二：过点A作AN平分∠BAC交BM于N 又AN平分∠BAC 又AB＝AC 又 AM＝CM 说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。 5. 证明：由已知得： 即 是某一三角形三边的长