中考数学全面突破：第十六讲　图形的对称、平移与旋转.doc

第十六讲　图形的对称、平移与旋转 命题点分类集训 命题点1　轴对称图形与中心对称图形的识别 【命题规律】1.考查内容及形式： ①中心对称图形或轴对称图形的识别；②既是轴对称图形又是中心对称图形的识别；③已知图形是轴对称图形，判断对称轴的条数；2.考查题型都是选择题，掌握轴对称和中心对称的概念是关键． 【命题预测】轴对称图形与中心对称图形的识别是对平面图形特征的研究，近年命题也频频出现，值得关注． 1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，不是轴对称的是(　　) 1. D 2.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是(　　) 2. B 3.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) 3. B 4.下列几何图形： 其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共有(　　) A. 4个　　　　B. 3个　　　　C. 2个　　　　D. 1个 4. C 5.我国传统建筑中，窗框(如图①)的图案玲珑剔透、千变万化．窗框一部分(如图②)，它是一个轴对称图形，其对称轴有(　　) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. B　【解析】在确定某个图形是否为轴对称图形时，就看其沿某条直线对折之后两边是否能够完全重合，若能完全重合则该直线即为该图形的一条对称轴．因此本题图②中在水平方向上和竖直方向上各有一条对称轴，即共有2条对称轴． 命题点2　轴对称的相关计算 【命题规律】轴对称常用来解决线段和的最小值问题，通过对称性及两点之间线段最短来解题，也是常说的“将军饮马”模型，也常会用到二次函数综合题中求线段和或周长的最小值问题． 【命题预测】利用轴对称性解决线段和及周长最小值是常用方法，可与三角形、四边形、圆、二次函数等知识结合，是命题趋势之一． 6.如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点．下列判断错误的是(　　) A. AM＝BM B. AP＝BN C. ∠MAP＝∠MBP D. ∠ANM＝∠BNM 6. B　【解析】 ∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，∴AM＝BM，选项A正确；AN＝BN，选项B错误；△AMN≌△BMN，∴∠ANM＝∠BNM，选项D正确；∠AMP＝∠BMP，又∵AM＝BM，MP＝MP，∴△AMP≌△BMP(SAS)，∴∠MAP＝∠MBP，选项C正确． 第6题图 第7题图 7.如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值为________． 7. 2　【解析】如解图，作B点关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P， AB′的长即为所求．连接AO并延长交圆O于D，连接DB′，∵B为弧AN的中点，∴＝，利用垂径定理得＝，由∠AMN＝40°，MN＝4，得∠ADB′＝60°，AD＝4，∴AB′＝4×sin60°＝4×＝2. 命题点3　图形平移的相关计算 【命题规律】1.考查内容和形式：①图形的平移变换方法，常与网格作图结合考查；②图形平移的相关计算；2.解决图形平移的关键：平移只改变图形的位置，不改变图形的大小．利用这一性质，平移前和平移后，两个图形全等，对应点的连线平行且相等，从而可以得出平行四边形，并根据平行四边形知识求解． 【命题预测】图形的平移是全国命题趋势之一，对平移的性质应做到熟练掌握． 8.已知△ABC顶点坐标分别是A(0，6)，B(－3，－3)，C(1，0)，将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是(4，10)，则点B的对应点B1的坐标为(　　) A. (7，1) B. (1，7) C. (1，1) D. (2，1) 8. C 9.如图，将△ABE向右平移2 cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16 cm，那么四边形ABFD的周长是(　　) A. 16 cm B. 18 cm C. 20 cm D. 21 cm 9. C　【解析】根据题意，将周长为16 cm的△ABE沿边BE向右平移2 cm得到△DCF，∴AD＝EF＝2 cm，BF＝BE＋EF＝BE＋2，DF＝AE，又∵AB＋BE＋AE＝16 cm，∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝AB＋BE＋AE＋EF＋AD＝16＋2＋2＝20 cm. 第9题图 　　第10题图 10.如图，△ABC中，BC＝5 cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为________ cm. 10. 2.5　【解析】由题意知，射线BC方向是平移方向，D为AC的中点，AB∥A′B′，则B′为BC的中点，所以BB′＝BC＝2.5 cm，∴△ABC平移的距离为2.5 cm. 命题点4　图形旋转的相关证明与计算 【命题规律】1.考查内容：①图形的旋转求角度；②与直角坐标系结合求旋转后的点坐标；③图形的旋转求线段长、路径长；④图形的旋转求面积；⑤图形旋转的相关证明；⑥几何图形的旋转操作与探究问题；2.对于旋转问题，需要掌握旋转的三要素，即旋转中心，旋转方向和旋转角，在计算旋转有关的计算题时，首先应找准旋转角(一个图形旋转后，其旋转角不止一个，原图上的每个点和其对应点及旋转中心构成的角就是一个旋转角)，再根据旋转前后图形全等来进行求解，常涉及扇形的有关计算． 【命题预测】图形的旋转是全国主流命题趋势之一，尤其是旋转操作探究题值得关注． 11.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(－2，5)的对应点A′ 的坐标是(　　) A. (2，5) B. (5，2) C. (2，－5) D. (5，－2) 11. B　【解析】如解图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A′作A′C′⊥x轴于点C′，由旋转性质可知OA⊥OA′，OA＝OA′，∵∠OAC＝∠AOC＝90°，∠AOC＋∠A′OC′＝90°，∴∠OAC＝∠A′OC′，∵∠ACO＝∠A′C′O＝90°，∴△OAC≌△A′OC′(AAS)，∵A(－2，5)，∴OC′＝AC＝5，A′C′＝OC＝|－2|＝2，∴A′(5，2)． 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，△ABC中，AB＝6，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为(　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 　　 12. B　【解析】如解图，∵AF∥BC，∴∠1＝∠2，∵△AEF是由△ABC旋转而来，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵∠B为公共角，∴△ABC∽△DBA，∴＝，∴AB2＝BC·BD，即36＝4·BD，∴BD＝9，∴CD＝BD－BC＝9－4＝5. 13.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝________度． 13. 46　【解析】根据旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C，则∠A′＝∠A＝27°，∠B′＝∠B＝40°，∴∠BCB′＝∠A′＋∠B′＝27°＋40°＝67°，∵∠ACB＝180°－∠B－∠A＝180°－40°－27°＝113°，∴∠ACB′＝∠ACB－∠BCB′＝113°－67°＝46°. 14.在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为________． 14. (1，－1)　【解析】如解图，连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点P即为旋转中心．由解图可得，点P的坐标为(1，－1)． 第14题图 第15题图 15.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次，则点C经过的路径长是________． 15. 　【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠A′B′C′＝30°，把△ABC沿着直线CB向右作无滑动滚动一次，点C经过的路线是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，旋转角是150°，易得BC＝AB·sin60°＝2×＝3，∴点C经过的路径长是＝. 注意旋转的性质的运用：旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小(旋转前后图形是全等形)，确定了旋转中心与半径后，注意结合弧长公式计算点C所经过的路线长度．半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝. 16.如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别相交于点E、F. (1)求证：△BCF≌△BA1D； (2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并请说明理由． 16. (1)证明：∵△ABC旋转α度得到△A1BC1， ∴∠CBF＝∠A1BD, ∵△ABC≌△A1BC1且△ABC为等腰三角形， ∴BC＝A1B＝BC1, ∠C＝∠A1， ∴△BCF≌△BA1D(ASA)． (2)解：四边形A1BCE为菱形．理由如下： ∵∠C＝α，△ABC为等腰三角形， ∴∠C1＝∠A＝α ， ∴∠CBF＝∠C1， ∴A1E∥BC， ∵∠A1BD＝∠A， ∴A1B∥EC， ∴四边形A1BCE为平行四边形， 由(1)得BC＝A1B， ∴▱A1BCE为菱形 . 命题点5　格点中的作图及其相关计算 【命题规律】1.考查形式：利用图形变换在网格中作图，并计算坐标、面积或路径长；2.涉及知识：一般都是与对称、平移、旋转有关；3.考查题型主要为解答题． 【命题预测】对称、平移、旋转、网格作图及相关计算是中考的命题趋势之一，且题型常为解答题． 17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上． (1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； (2)将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标． 17. 解：(1)作图，如解图，△A1B1C1即为所求． (2)作图，如解图，△A2B2C2即为所求． A2(－3，－1)，B2(0，－2)，C2(－2，－4)． 18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(－1，－1)，B(－3，3)，C(－4，1)． (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标； (2)画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标． 18. (1)【题图分析】△ABC关于y轴对称，各点的纵坐标不变，横坐标变为相反数，分别找出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可，并据此写出点B1的坐标． 解：如解图，△A1B1C1即为所求； 点B1的坐标为(3，3)． (2)【题图分析】以点A为旋转中心，按逆时针方向分别作∠B2AB＝∠C2AC ＝90°，且B2A＝BA，C2A＝CA.再顺次连接B2、A、C2即可． 解：如解图，△AB2C2即为所求； 点C2的坐标为(－3，－4)． 中考冲刺集训 一、选择题 1.在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是(　　) 2.以下图形，对称轴的数量小于3的是(　　) 3.下列图形是中心对称图形的是(　　) 4.如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是(　　) 5.在图形：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；⑤平行四边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是(　　) A. 2　　　　　　B. 3　　　　　　C. 4　　　　　　D. 5 6.下面四个几何体中，其主视图不是中心对称图形的是(　　) 7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为(　　) A. B. 2 C. 3 D. 2 第7题图 第8题图 8.把一副三角板按如图放置，其中∠ABC＝∠DEB＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AC＝BD＝10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的(　　) A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能 二、填空题 9.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝________． 第9题图 第10题图 10.如图，在△ACB中，∠BAC＝50°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°，得到△AC1B1，则阴影部分面积为________． 11.如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝________cm. 第11题图 第13题图 12.已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM＝4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是________． 13.如图，直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B′的坐标为____________． 三、解答题 14.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC. (1)试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边； (2)将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′. 15.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)． (1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，写出B1点的坐标； (2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，请写出B2点的坐标． 16.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)． (1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1； (2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2； (3)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 17.如图，已知，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E、F分别是CA、CB边的三等分点．将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN.连接AM，BN. (1)求证：AM＝BN； (2)当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值． 1. D 2. D　【解析】A. 如图有4条对称轴，故A错误；B. 如图有6条对称轴，故B错误；C. 如图有4条对称轴，故C错误；D. 如图有2条对称轴，故D正确． 3. C　4. A　5. B　6. C 第7题解图 7. A　【解析】如解图，连接BD，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，由勾股定理可得AB＝＝＝5，又△ADE是由△ABC旋转而得，∴△ADE≌△ABC，∴AE＝AC＝4，DE＝BC＝3，∠AED＝∠ACB＝90°，∴BE＝AB－AE＝5－4＝1，∴BD＝＝＝，∴B、D两点间的距离为. 第8题解图 8. C　【解析】根据题意，两个三角板的斜边长度相等，把三角形DEB绕点B逆时针旋转45°，得到△D′E′B，设BE的延长线交线段D′E′于点M，由于∠E′BE＝45°，所以△E′BM是等腰直角三角形，所以BM＝E′B，而E′B＝BE＝BD＝5，所以BM＝5，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×10＝5，∴点A、B、M在同一条直线上，即点A与点M 重合，所以点A在△D′E′B的边D′E′上． 9. 　【解析】由∠CAE＝90°知旋转角是90°，∴∠BAD＝90°，又AB＝AD＝1，∴BD＝. 10. 　【解析】根据旋转可知，S△ABC＝S△AB1C1，∴S阴影＝S扇形ABB1＝＝. 第11题解图 11. 2＋　【解析】如解图，过点E作EG⊥BD且交BD于点G，∵BE平分∠DBC，∠EGB＝∠BCE＝90°，∴EG＝EC＝1 cm，∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，∴∠BDC＝45°，∴△DEG为等腰直角三角形，∴DE＝EG＝ cm，∴CD＝(1＋) cm，即BC＝(1＋) cm.由旋转的性质可知，CF＝CE＝1 cm，∴BF＝(2＋) cm. 第12题解图 12. 2　【解析】如解图，取OM′＝OM＝4，过M′作M′N⊥OA于点N，则M′N即为所求．∵∠AOB＝60°，∴M′N＝OM′·sin60°＝4·＝2. 13. (4，3)或(－8，－3)　【解析】如解图①，∵y＝x＋1，∴当y＝0时，x＝－2，∴A(－2，0)．∵△BOC与△B′O′C′的相似比为1∶3，∴AO∶AO′＝1∶3，∵OA＝2，∴AO′＝6，∴OO′＝4，∴B′点的横坐标为4，又点B′在直线AB上，∴y＝×4＋1＝3，∴B′(4，3)；如解图②，∵△BOC与△B′O′C′的相似比为1∶3，∴AO∶AO′＝1∶3，∵OA＝2，∴AO′＝6，∴OO′＝8，∴B′点的横坐标为－8，又点B′在直线AB上，∴y＝×(－8)＋1＝－3，∴B′(－8，－3)．综上所述，点B′的坐标为(4，3)或(－8，－3)． 解图① 　解图② 第13题解图 14. 解：(1)所求点D及四边形ABCD的另两条边AD、CD如解图所示； 第14题解图 (2)所求四边形A′B′C′D′如解图所示． 15. 解：(1)如解图所示，△A1B1C1即为△ABC关于y轴的对称图形， B1点的坐标是(－1，0)； 第15题解图 ②如解图所示，△A2B2C2即为△ABC绕原点O按逆时针旋转90°后所得的三角形，B2点的坐标是(0，1)． 16. 解：(1)画出图形△A1B1C1，如解图． 第16题解图 (2)画出图形△A2B2C2，如解图： (3)点P的坐标为(2，0)． 【解法提示】如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，则P点即为所求． 17. (1)【思路分析】根据条件可知△ECF和△MCN都是等腰直角三角形，要证明AM＝BN只要证明△AMC≌△BNC，再根据全等三角形的对应边相等即可证得． 证明：∵CA＝CB，且E、F分别是CA和CB边的三等分点， ∴CE＝CF， ∴CM＝CN＝CE＝CF＝AC， 又∵∠MCN＝∠ACB＝90°， 即∠ACM＋∠ECN＝90°， ∠BCN＝∠ECN＝90°， ∴∠ACM＝∠BCN， 又∵CA＝CB，CM＝CN， ∴△AMC≌△BNC(SAS)， ∴AM＝BN. (2)【思路分析】要求角的三角函数值，首先考查α所在的△ACM，是否是直角三角形，即证明∠ACM＋∠CAM＝90°是否成立．若AM∥CN，则根据平行线的性质得∠CAM＝∠ACN，而∠ACN＋∠ACM＝90°，据此即可证得∠AMC＝90°，△ACM是直角三角形，利用三角函数的定义即可求解． 解：∵AM∥CN， ∴∠CAM＝∠ACN， 又∵∠ACN＋α＝90°， ∴在△ACM中，∠AMC＝180°－(∠CAM＋α)＝180°－(∠ACN＋∠α)＝90°， ∴△ACM是直角三角形， ∵CM＝AC， 设CM＝a，则AC＝3a， ∴cosα＝＝＝.